\begin{questions}
\item  Par définition :
\[
v_{n+1}=\frac{1+u_{n+1}}{u_{n+1}}.
\]
\item  Pour calculer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$, remplaçons $u_{n+1}$ dans l'égalité précédente par :
\[
u_{n+1}=\frac{u_{n}}{1-u_{n}}.
\]
On a alors:
\[
v_{n+1}=\frac{1+\frac{u_n}{1-u_n}}{\frac{u_n}{1-u_n}}
\]
soit, en multipliant en haut et en bas par $1-u_{n}$ :
\[
v_{n+1}=\frac{1-u_n+u_n}{u_n}=\frac{1}{u_n}.
\]

\item  $\begin{aligned}[t]
        \text{On a :}\ & v_n=\dfrac{1+u_n}{u_n}\\
         \iff\ & v_nu_n=1+u_n\\
         \iff\ & u_n\big(v_n-1\big)=1\\
         \iff\ & u_n = \frac{1}{v_n-1},\ \text{car }v_n \neq1.
         \end{aligned}$

\item Utilisons les deux égalités suivantes pour en déduire $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ :
\begin{align*}
v_{n+1} & =\frac{1}{u_n} \\
u_n & = \frac{1}{v_n-1}.
\end{align*}
Nous obtenons donc, pour tout $n \in \N^*$ :
\[
v_{n+1} = v_n-1\;,
\]
ce qui prouve que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $-1$.

\item $(v_n)$ étant arithmétique de raison $r=-1$, on a:
\[
\forall n\in\N^*,\quad v_n= v_1 + (n-1)r \qquad\text{soit}\qquad v_n=\frac{1}{2}-(n-1) = \frac{3}{2}-n.
\]
Ainsi, d'après la question 3,
\[
\forall n\in\N^*,\qquad u_n = \frac{1}{\tfrac{3}{2}-n-1}=-\frac{2}{2n-1}.
\]
\end{questions}
