Notons $(u_n)$ la suite arithmétique définie par son premier terme $u_1$ et sa \mbox{raison $r$}. On a donc les relations :
\[
\begin{cases}
u_1 + u_2 + u_3 + u_4 & = 16\\
u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 & =84.
\end{cases}
\]
Or,
\[
\begin{cases}
u_2 & = u_1 + r \\
u_3 & = u_1 + 2r \\
u_4 & = u_1 + 3r .
\end{cases}
\]
On obtient donc :
\[
\begin{cases}
u_1 + u_1+r + u_1+2r + u_1+3r & =16\\
u_1^2 + (u_1+r)^{2}+(u_1+2r)^{2}+(u_1+3r)^{2}& =84
\end{cases}
\]
soit en développant :
\[
\begin{cases}
4u_1+6r&=16\\
4u_1^{2}+12ru_1+14r^{2}&=84
\end{cases}
\]
soit encore :
\[
\begin{cases}
2u_1&=8-3r\\
(2u_1)^{2}+6r(2u_1)+14r^{2}&=84
\end{cases}
\]
et finalement, en remplaçant $2u_1$ par $8-3r$ :
\[
\begin{cases}
2u_1&=8-3r\\
(8-3r)^{2}+6r(8-3r)+14r^{2}&=84
\end{cases}
\]
La deuxième équation s'écrit successivement :
\begin{align*}
 &(8-3r)(8-3r+6r)+14r^2 = 84 \\
\iff\ &(8-3r)(8+3r)+14r^2 = 84 \\
\iff\  &64 - 9r^2 + 14r^2 = 84 \\
\iff\  &5r^2 = 20 \\
\iff\  &r^2 = 4.
\end{align*}
Or, $r >0$ car la suite est croissante donc $r = 2$, et la première équation donne alors :
\[
2 u_1=8-6 = 2.
\]
Finalement :
\[
u_1 = 1, \quad u_2 = 3, \quad u_3 = 5\quad\text{et} \quad u_4= 7.
\]
