En notant $r$ la raison de la suite arithmétique et $q$ celle de la suite géométrique, les hypothèses s'écrivent :
\begin{align}
a & = b-r\\
c & = b + r\\
a & = \frac{c}{q}\\
b & = cq\\
a + b + c & = 99
\end{align}

De (1) et (2), on déduit : $a+ c = 2b$.\\
De (3) et (4), on déduit : $ab = c^2$.

\begin{methode}
Il est souvent intéressant de travailler avec le terme du milieu, car cela permet d'éliminer les raisons des équations.
\end{methode}

En remplaçant $a + c$ par $2b$ dans (5), on obtient : \[ 3b = 99\;, \]
et donc :
\[ b = 33.\]
Pour trouver $a$ et $c$, on doit résoudre :
$$\left\{ \begin{array}{l}
a + c = 66 \\
\\
33a = c^2\qquad (6)
\end{array}\right.$$
De l'équation (6), on tire :
$$a = \frac{c^2}{33}.$$
On remplace dans la première équation $a$ par cette valeur :
$$\frac{c^2}{33} + c = 66,$$
d'où :
$$c^2 + 33 c = 66\times 33,$$
soit :
\[
c^2 + 33 c - 66\times 33 = 0.
\]
Le discriminant de cette équation du second degré vaut :
$$\Delta = 33^2 + 4\times 66\times 33
       = 33^2 + 8 \times 33^2
       = 9 \times 33^2
       = (3 \times 33)^2
       = 99^2.$$

On a donc deux solutions possibles :
\[
c_1 = \frac{-33-99}{2} = -66 \qquad\text{et}\qquad
c_2 = \frac{-33+99}{2} = 33.
\]
Les solutions correspondantes pour $a$ sont :
\begin{align*}
 a_{1} &= \frac{c_{1}^2}{33} = \frac{(33 \times 2)^2}{33} = 33 \times 4 = 132 \\[6pt]
 a_{2} &= \frac{c_{2}^2}{33} = \frac{33^2}{33} = 33.
\end{align*}

Dans le premier cas, on a le triplet solution :
\begin{align*}
(a_1,b_1,c_1)&=(132,33,-66) \\
\intertext{et dans le second cas :}
(a_2,b_2,c_2)&=(33,33,33).
\end{align*}
On vérifie aisément que ces deux triplets conviennent.
