\begin{questions}
\item Si on appelle $q$ la raison de la suite, on a :
\[
u_2 = q u_1\quad\text{et}\quad u_2 = \dfrac{u_3}{q}\;,\]
donc :
\[
u_2^2 = u_1 u_3 = \frac{4}{9}.
\]
$(u_n)$ est à termes négatifs, donc :
\[
u_2 = -\frac{2}{3}.
\]
Comme :
\[
\begin{cases}
u_1 \times u_3 & = \frac{4}{9}\\
u_1+u_2+u_3 & = - \frac{19}{9}
\end{cases}
\]
on a :
\begin{align*}
\left\{ \begin{aligned}
 u_1 u_3 &= \frac{4}{9} \\
 u_1 - \frac{2}{3}+ u_3 & = -\frac{19}{9}
        \end{aligned} \right.
&\iff\left\{ \begin{aligned}
 u_1u_3 &= \frac{4}{9} \\
 u_1 + u_3 & = -\frac{13}{9}
        \end{aligned} \right.\\
&\iff\left\{ \begin{gathered}
u_3 =-u_1 -\frac{13}{9} \\
u_1\left(-u_1-\frac{13}{9}\right) = \frac{4}{9}
        \end{gathered} \right.
\end{align*}
$u_1$  est donc solution de l'équation :
\[
x\left(-x-\frac{13}{9}\right) = \frac{4}{9}
\]
soit :
\[
9x^2 + 13 x + 4 = 0.
\]
Le discriminant vaut :
\[
\Delta = 13^2 - 4\times4\times 9 = 25.
\]
Les deux racines sont donc :
\[
x_1 = \frac{-13-5}{18} = -1 \quad\text{et}\quad
x_2 = \frac{-13+5}{18} = -\frac{8}{18} = -\frac{4}{9}.
\]
D'où :
\begin{itemize}
\item $u_1=-1$ (et dans ce cas $u_3=-u_1 -\dfrac{13}{9}=-\dfrac{4}{9}$) ;
\item ou
$u_1=-\dfrac{4}{9}$ (et dans ce cas $u_3=-u_1 -\dfrac{13}{9}=-1$).
\end{itemize}

$(u_n)$ est croissante, donc $u_3 \geq u_1$. On retient donc comme solution :
\[
u_1=-1 \qquad\text{et}\qquad u_3=-\frac{4}{9}.
\]
Nous avons donc finalement :
\[
u_1=-1, \qquad u_2=-\frac{2}{3}, \qquad u_3=-\frac{4}{9}.
\]
On remarque que la raison est $q = \dfrac{u_2}{u_1}= \dfrac{2}{3}$.

\item  Pour calculer $u_n$, utilisons simplement la définition des suites géométriques :
\[
u_n = q^{n-1}u_1 = -\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}.
\]
\end{questions}
