\begin{questions}
\item  $\begin{aligned}[t]
        U_{1} &= \frac{1}{2}U_{0}-\frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1. \\
        U_{2} &= \frac{1}{2} U_{1} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -2.
        \end{aligned}$

\item  Pour tout $n \in \N$, on a :
        \begin{align*}
        V_{n+1} =U_{n+1} + 3 & = \frac{1}{2}U_{n}-\frac{3}{2} + 3 \\
        &= \frac{1}{2}U_{n} + \frac{3}{2} \\
        &= \frac{1}{2} (U_{n}+3) \\
        & = \frac{1}{2} V_{n}\,.
        \end{align*}
        Cette relation prouve que la suite $(V_{n})_{n \in \N}$ est géométrique de raison ${\displaystyle
        \frac{1}{2}}$ et de premier terme :
        $$V_{0} = U_{0} + 3 = 4\,.$$

\item  D'après le cours, on a : $V_{n} = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{n}$, soit $V_{n} = \frac{1}{2^{n-2}}$.

Comme $U_{n} = V_{n}-3$, on a alors : $U_{n} = \frac{1}{2^{n-2}} - 3\;.$

\item  La suite $(V_{n})_{n \in \N}$ est géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.
        Comme, pour tout $n \in \N$, on a :
        \[
        V_n=\frac{1}{2^{n-2}}
        \]
        donc $V_n >0$ et:
        \[
        \frac{V_{n+1}}{V_{n}} = \frac{1}{2}
        \]
soit :
        \[
        \frac{V_{n+1}}{V_{n}}<1
        \]
        ce qui prouve que la suite $(V_{n})_{n \in \N}$ est strictement décroissante.\par
        De plus, puisque $V_{n+1} < V_{n}$ pour tout $n$, on a également :
        $$V_{n+1} - 3 < V_{n} - 3, \qquad \text{pour tout }n$$
        c'est-à-dire :
        $$U_{n+1} < U_{n}, \qquad \text{pour tout }n\,.$$
        La suite $(U_{n})_{n \in \N}$ est donc strictement décroissante.

\item  $\begin{aligned}[t]
        S &= U_{0} + U_{1} + \cdots + U_{10} \\
        &= (V_{0}-3) + (V_{1}-3) + \cdots + (V_{10}-3) \\
        &= V_{0} + V_{1} + \cdots + V_{10} - 11 \times 3 \\
        &= V_{0} + V_{1} + \cdots + V_{10} - 33.
        \end{aligned}$

       Or, on a :
       \[ V_0+V_1+\cdots+V_{10}=V_0\left[1+\frac{1}{2}+\cdots+\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right]. \]
       Donc :
        \begin{align*}
        V_{0} + V_{1} + \cdots + V_{10} &= V_{0}\times \frac{1 - \left( {\displaystyle \frac{1}{2}}
        \right)^{11}}{1 - {\displaystyle \frac{1}{2}}} \\
        &= 4 \times \frac{1 - \left( {\displaystyle \frac{1}{2}}
        \right)^{11}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}} \\
        &= 8 \left( 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{11} \right)\,.
        \end{align*}
        Ainsi :
        \begin{align*}
        S &= 8 \left( 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{11} \right) - 33 \\
        &= 8 - 8 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{11} - 33 \\
        &= -2^3 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{11} - 25 = - \left( \frac{1}{2} \right)^{8} - 25.
        \end{align*}
        \enlargethispage*{3em}
\end{questions}
