\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. En calculant les produits en croix, on obtient en effet pour la réponse \choix[c] l'égalité $1-\cos^2x=\sin^2x$.

\item Réponse \choix[c]. Si $\alpha \in \left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$, alors $\cos \alpha \leq 0$.\\
Donc $\cos \alpha = -\sqrt{1-\sin^2 \alpha}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

\item Réponse \choix[c]. C'est le cours !

\item Réponse \choix[b]. Comme $x$ appartient à  $\left]-\dfrac{\pi}{2}~;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on sait que $\cos x \geq 0$, ce qui élimine les réponses \choix[c] et \choix[d]. D'autre part, dans cet intervalle, $\cos x = -\sin x$ uniquement pour  $\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, ce qui n'est pas le cas ici. Donc la réponse \choix[a] ne convient pas non plus. Il ne reste donc plus que la réponse \choix[b].

\item Réponse \choix[c]. Le sinus est négatif, le cosinus positif, donc $x$ appartient à  $\left]-\dfrac{\pi}{2}~;0\right]$. D'autre part, le cosinus est supérieur à $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc $x$ est compris entre $-\dfrac{\pi}{4}$ et 0. On trouve donc que $x=-\dfrac{\pi}{12}$.

\item Réponse \choix[b]. En effet,
\begin{align*}
\big(\cos x + \sin x\big)\big(\cos x - \sin x\big) & = \cos^2(x) - \sin^2(x)\\
& = \big(1-\sin^2(x)\big)-\sin^2(x)\\
& = 1 - 2\sin^2(x).
\end{align*}
\end{questions}
