\begin{questions}
\item  $\begin{aligned}[t]
\sqrt{3}\cos x = \sin x & \Longrightarrow \big(\sqrt{3}\cos x\big)^2 = \big(\sin x\big)^2\\
& \Longrightarrow 3 \cos^2x=\sin^2x\\
& \Longrightarrow  3 \cos^2x = 1 - \cos^2x\\
& \Longrightarrow 4\cos^2 x = 1\\
& \Longrightarrow \cos^2 x = \frac{1}{4}.
\end{aligned}$


\item $\cos^2x=\dfrac{1}{4}\Longleftrightarrow \cos x =-\dfrac{1}{2}$ ou $\cos x = \dfrac{1}{2}$.

Cette équation a donc 4 solutions dans $[0~;2\pi[$ :
\[
S = \left\{\dfrac{\pi}{3};~ \dfrac{2\pi}{3}~;~\dfrac{4\pi}{3}~;~\dfrac{5\pi}{3}\right\}.
\]

\item $\sqrt{3}\cos x = \sin x$ et $\sqrt3>0$. Donc $\cos x$ et $\sin x$ ont le même signe.

\item Parmi les 4 valeurs trouvées dans la question 2, seules $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$ ont un cosinus et un sinus de même signe.

De plus, il est immédiat de contrôler que ces deux valeurs sont solutions de l'équation (E). En effet, on a bien :
\[
\sqrt{3}\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin\dfrac{\pi}{3}
\]
et
\[
\sqrt{3}\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin\dfrac{4\pi}{3}.
\]
\end{questions}
