\begin{questions}
\item
\begin{itemize}
\item Parité de $f(x)=2\sin(8x)$: pour tout réel $x$,
\[
f(-x)=2\sin(-8x)=-2\sin(8x)=-f(x).
\]
Par conséquent, $f$ est \textit{impaire}.

\item Périodicité: pour tout réel $x$,
\begin{align*}
f(x+T) & = f\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\\
& = 2\sin\left[8\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]\\
& = 2\sin(8x+2\pi)\\
& = 2\sin(8x)\quad\text{(car $x\mapsto\sin x$ est $2\pi$-périodique)}\\
& = f(x).
\end{align*}

Ainsi, $f$ est périodique de période $\frac{\pi}{4}$.
\end{itemize}

\item
\begin{itemize}
\item Parité de $g(x)=\sin(2x)+\cos(2x)$: pour tout réel $x$,
\[
g(-x)=\cos(-2x)+\sin(-2x)=\cos(2x)-\sin(2x).
\]
Par conséquent, $g(-x) \neq g(x)$ et $g(-x) \neq -g(x)$. La fonction $g$ n'est donc \textit{ni paire, ni impaire}.

\item Périodicité: pour tout réel $x$,
\begin{align*}
g(x+T) & = g(x+\pi)\\
& = \sin\big[2(x+\pi)\big] + \cos\big[2(x+\pi)\big]\\
& = \sin(2x+2\pi) + \cos(2x+2\pi)\\
& = \sin(2x) + \cos(2x)
\intertext{(car les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques)}
& = g(x).
\end{align*}

Ainsi, $g$ est périodique de période $\pi$.
\end{itemize}
\end{questions}
