\begin{questions}
\item \emph{Faux}. Dans le repère orthonormal $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$, si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont pour coordonnées respectives $\vec{u}(2~;5)$ et $\vec{v}(1~;-5)$ alors :
\[  \vec{u}\cdot\vec{v} = 2 \times 1 - 5 \times 5 = -23 \]
Le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est strictement négatif.

\item \emph{Faux}. Soit $\vec{u}(2~;0)$, $\vec{v}(0~;8)$ et $\vec{w}(0~;15)$. On a :
\begin{align*}
\vec{u}\cdot\vec{v} & = 2 \times 0 + 0 \times 8 = 0\\
\vec{u}\cdot\vec{w} & = 2 \times 0 + 0 \times 15 = 0
\end{align*}
Cependant $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas égaux.

\item \emph{Faux}. Soit $I$ le milieu de $[AB]$.
\begin{align*}
\gvec{MA}\cdot\gvec{MB} & = \left(\gvec{MI} + \gvec{IA}\right)\cdot \left(\gvec{MI} + \gvec{IB}\right)\\
& = \gvec{MI}^2 + \gvec{MI}\cdot\left(\gvec{IA} + \gvec{IB}\right) +
\gvec{IA}\cdot\gvec{IB}
\end{align*}
Or, $\gvec{IA} + \gvec{IB} = \gvec{0}$ et $\gvec{IA}\cdot\gvec{IB} =-IA^2=-\left(\dfrac{1}{2}AB\right)^2= -\frac{1}{4}AB^2$.\\
Par suite,
\begin{align*}
\gvec{MA}\cdot\gvec{MB} & = k \iff MI^2 - \frac{1}{4} AB^2 = k\\
\gvec{MA}\cdot\gvec{MB} & = k \iff MI^2 = k + \frac{1}{4} AB^2
\end{align*}

Si $k + \frac{1}{4} AB^2 < 0$, alors l'ensemble cherché est vide.

\item \emph{Vrai}. \[\| \vec{u} + \vec{v} \|^2 = (\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{v}^2\]
Comme $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux, $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.\\
Par suite, \[\|\vec{u} +\vec{v}\|^2 = \vec{u}^2 + \vec{v}^2\]
\[ \|\vec{u}-\vec{v} \|^2 = (\vec{u} - \vec{v})^2 = \vec{u}^2 -
    2\vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{v}^2\]
On a donc aussi : \[ \|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \vec{u}^2 + \vec{v}^2\]
D'où : \[ \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\]
Et comme $\|\vec{u} + \vec{v}\|$ et $\|\vec{u} - \vec{v}\|$ sont positifs, alors $\|\vec{u} + \vec{v}\| = \|\vec{u} - \vec{v}\|$.
\end{questions}
