\begin{questions}
\item  $\gvec{AB}\dbinom{6}{3}$ et $\gvec{AC}\dbinom{8}{-6}$ donc:
\[
\gvec{AB}\cdot\gvec{AC} = 6\times8 + 3\times(-6) = 48-18=30.
\]
\item $AB = \sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}$.

$AC = \sqrt{8^2+(-6)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$.

\item On sait que $\gvec{AB}\cdot\gvec{AC}=AB \times AC \times \cos\big(\gvec{AB}~;~\gvec{AC}\big)$ donc :
\[
30=10\sqrt{45}\cos\big(\gvec{AB}~;~\gvec{AC}\big).
\]
Ainsi,
\[
\cos\big(\gvec{AB}~;~\gvec{AC}\big)=\dfrac{30}{10\sqrt{45}}\approx0,447.
\]
On en déduit alors que $\big(\gvec{AB}~;~\gvec{AC}\big)\approx63\degres$.

\item $\gvec{CD}\dbinom{-3,5}{7}$ donc:
\[
\gvec{CD}\cdot\gvec{AB}=-3,5\times6 + 7\times3=-21+21=0.
\]
Donc $(CD)\perp(AB)$.

\Par

De plus, $\gvec{BD}\dbinom{-1,5}{-2}$ donc:
\[
\gvec{BD}\cdot\gvec{AC}=-1,5\times8 + (-2)\times(-6)=-12+12=0.
\]
Donc $(BD)\perp(AC)$.

\item De la question précédente, on déduit que $D$ est l'intersection des hauteurs du triangle $ABC$, donc l'orthocentre de $ABC$.

\item Par définition, $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$. Donc, par définition du produit scalaire, $\gvec{AB}\cdot\gvec{AC}=AH \times AC$.

Or, $\gvec{AB}\cdot\gvec{AC}=30$ d'après la question 1.

Donc $AH \times AC = 30$, soit $AH = \dfrac{30}{AC}=\dfrac{30}{10}=3$.
\end{questions}
