Le cercle que l'on doit déterminer passe par les deux points
$A(2~;-1)$ et $B(1~;3)$. Le centre appartient à la médiatrice de $[AB]$.

Étudions le schéma suivant :
\begin{center}
\includegraphics{271_6_fig_32}
\end{center}
Le milieu de $[AB]$ est $I\left(\dfrac{3}{2}~;1\right)$. Cherchons une équation de la  médiatrice de $[AB]$, écrivons pour cela qu'avec $I$, milieu de $[AB]$, le point $M(x~;y)$ est sur la médiatrice si et seulement si :
\[
\gvec{IM} \cdot \gvec{AB}=0
\]
Or $\gvec{IM} $ a pour coordonnées :
\[\left( x-\frac{3}{2}~;y-1\right)\]
et $\gvec{AB}$ a pour coordonnées $ \left(-1~;4\right)$, donc une équation de la médiatrice de $[AB]$ est :
\[
-\left(
x-\frac{3}{2}
\right)
+4(y-1)=0
\]
Soit :
\[
x-4y+\frac{5}{2}=0
\]
Déterminons-en alors l'intersection avec la droite donnée :
\[
\left\{\begin{aligned}
&x+y+1=0\\
& x-4y+\frac{5}{2}=0
\end{aligned} \right.
\]
En faisant la différence des deux équations, nous obtenons :
\[
5y-\frac{3}{2}=0
\]
Donc :
\[
y=\frac{3}{10} \quad \text{et} \quad x=-\frac{13}{10}
\]
sont les coordonnées du centre du cercle. Notons $\Omega$ ce centre :
\[
\Omega \left(-\frac{13}{10}~; \frac{3}{10}\right)
\]
Et
\[
r = \| \gvec{\Omega B} \|
\]
Donc :
\[
\|\Omega B\|^2 = r^{2} =
\left(1+\frac{13}{10}\right)^{2}+\left(3-\frac{3}{10}\right)^{2}=
\frac{1258}{100}
\]
D'où :
\[
r =\sqrt{12{,}58}\approx 3{,}55
\]
\begin{center}
\includegraphics{273_6_fig_33}
\end{center}
