\begin{questions}
\item \qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.6,-0.3){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch08exo14}}}
%\vspace*{-10pt}
On considère que $x^2 - 6x$ est le début d'un carré parfait, et de même que $y^2 - 4y$ est le début d'un carré parfait.

On obtient donc :
\[ x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \qquad\text{et}\qquad x^2 - 6x = (x -3)^2 - 9;\]
\[y^2 - 4y + 4 = (y -2)^2\qquad\text{et}\qquad y^2 - 4y = (y-2)^2 - 4.\]
Finalement :
\[x^2 + y^2 - 6x- 4y- 4 = (x - 3 )^2 - 9 + (y -2)^2 -4 - 4 = 0.\]
Donc : \[ (x- 3)^2 + (y- 2) ^2 = 17.\]
$\Omega$ a donc pour coordonnées $(3~;2)$, et le rayon du cercle est $\sqrt{17}$.

\item En remplaçant $x$ et $y$ dans le premier membre de l'équation du cercle par les coordonnées de $A$, on obtient :
\[(-1-3)^2 + (1-2)^2 = 4^2+1^2=17.\]
Donc, puisque les coordonnées de $A$ vérifient l'équation du cercle, $A$ appartient bien au cercle.

La tangente en $A$ à $\mathcal{C}$ passe par $A$ et est perpendiculaire au rayon $\Omega A$.

Par conséquent, $M(x~;y)$ appartient à cette tangente si et seulement si :
\begin{align*}
\gvec{AM}\cdot\gvec{\Omega A}=0 & \iff (x+1)\times(-1-3)+(y-1)\times(1-2)=0\\
& \iff -4x-4-y+1=0\\
& \iff y=-4x-3.
\end{align*}

\item $\mathcal{D}$ est tangente à $\mathcal{C}'$ si $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au rayon de $\mathcal{C}'$ ayant un point commun $H$ avec $\mathcal{D}$.

Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}(1~;1)$. On doit donc avoir: $\gvec{\Omega H}\cdot\vec{u}=0$.

Il faut donc trouver les coordonnées du point $H$ intersection de $\mathcal{C}'$ avec $\mathcal{D}$. Les coordonnées $(x~;y)$ de $H$ vérifient :
\begin{align*}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x-y=4\\
\dbinom{x-3}{y-2}\cdot\dbinom{1}{1}=0
\end{array}
\right. &
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x-y=4\\
(x-3)\times1+(y-2)\times1=0
\end{array}
\right.
\\
&
\iff \left\lbrace
\begin{array}{l}
y=x-4\\
x-3+x-6=0
\end{array}
\right.\\
& \iff \left\lbrace
\begin{array}{l}
y=x-4\\
x=\frac{9}{2}
\end{array}
\right.\\
& \iff \left\lbrace
\begin{array}{l}
x=\frac{9}{2}\\[6pt]
y=\frac{1}{2}
\end{array}
\right.
\end{align*}
Le point $H$ a donc pour coordonnées $\left(\frac{9}{2}~;\frac{1}{2}\right)$.\\
Calculons $\Omega H^2$ pour avoir le carré du rayon du cercle :
\[
\Omega H^2 = \left(\frac{9}{2}-3\right)^2+\left(\frac{1}{2}-2\right)^2 = \frac{9}{2}.
\]
Le cercle $\mathcal{C}'$ a donc pour équation :
\[
(x-3)^2 + (y-2)^2 = \frac{9}{2}.
\]
\end{questions}
