\begin{questions}
\item Réponse\choix[a]:
    \begin{align*}
      p(B) & = p(A\cap B) + p(\bar{A}\cap B) = p(A) p_A(B) + p(\bar{A})p_{\bar{A}}(B) \\
       & = 0,3\times 0,4 + (1 - 0,3)\times 0,2 = 0,26.
    \end{align*}

  \begin{attention}
    Il ne faut pas confondre $p(A\cap B)$ avec $p_A(B)$, la réponse \choix[b] est donc fausse.
  \end{attention}


\item Réponse\choix[c]: si $A$ et $B$ sont tels que $ p(A\cap B) = p(A)\times p(B) $, alors
    \begin{gather*}
    \begin{aligned}
          p(A \cup B) & = p(A) + p(B)-p(A\cap B)\\
           & = p(A) + p(B)-p(A)\times p(B),
      \intertext{d'où :}
        0,8 & = 0,6 + p(B)-0,6\times p(B) \\
         & \iff 0,4\times p(B) = 0,2 \iff p(B) = 0,5.
    \end{aligned} \\
      \intertext{Donc }
    p_{A}(B) = \dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} = \dfrac{p(A)p(B)}{p(A)} = p(B) = 0,5
    \end{gather*}

\item Réponse\choix[b]. En effet, d'après le cours,
\[
P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\text{ donc }P(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P_A(B)}=\dfrac{0,8}{0,25}=3,2 > 1
\]
ce qui est impossible.

\item Réponse\choix[c]: comme $A$ et $\bar{A}$ forment une partition de l'univers, d'après la formule des probabilités totales :
$$ p(B) = p(A\cap B) + p(\bar{A}\cap B) = 0,12 + 0,36 = 0,48.$$

Comme $p_{{B}}(A) = \dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} = \dfrac{0,12}{0,48}$, alors $ p_B (A) = 0,25$.

\end{questions}
