\begin{questions}
  \item
        \begin{questions}
            \item $ p(G_1) = 0,5 $ et $ p(\bar{G}_1) = 0,5 $.
%\newpage
  \item $\begin{aligned}[t]
          p(G_2) & = p(G_1) p_{G_1}(G_2) + p(\bar{G}_1) p_{\bar{G}_1}(G_2) \\
                 & = 0,5 \times 0,6 + 0,5 \times 0,3 = 0,45.\end{aligned}$

        $\begin{aligned}[t]
         p(\bar{G}_2) & = 1-p(G_2) \\
                       & = 0,55.
                    \end{aligned}$
        \end{questions}

  \item
        \begin{questions}
          \item \mbox{}\vspace{\dimexpr -\baselineskip-\topsep\relax}
                \begin{center}
                    \includegraphics{302_7_fig_13}
                \end{center}

            \item $
                \begin{aligned}[t]
                    u_{n+1} & = p(G_{n + 1}) = 0,6 u_n + 0,3v_n, \\
                    v_{n+1} & = p(\overline{G_{n + 1}}) = 0,4 u_n + 0,7 v_n.
                \end{aligned}$

            \item Pour tout $ n $ de $ \N^* $,
                     \[ u_{n+1} + v_{n+1} = 0,6 u_n + 0,3v_n + 0,4 u_n + 0,7 v_n = u_n + v_n. \]%

                Donc la suite $ (u_n + v_n) $ est constante. On sait que $ u_1 + v_1 = 1 $, donc pour tout $ n $ de $ \N^* $, $ u_n + v_n = 1 $.
            \begin{Remarque}ceci est logique : à chaque étape, il n'y a que deux événements incompatibles : Pierre gagne ou perd ! Donc la somme des probabilités de ces événements doit être égale à $ 1 $.
            \end{Remarque}

            \item $
                \begin{aligned}[t]
                   4u_{n+1}-3v_{n+1} & = 4(0,6u_n + 0,3 v_n) - 3(0,4u_n+ 0,7v_n) \\
                   & = 1,2 u_n -0,9 v_n = 0,3(4u_n - 3v_n).
                \end{aligned}$

Donc la suite $ (4u_n - 3v_n) $ est géométrique de raison $ 0,3 $. Son premier terme est $ 4u_1 - 3v_1 = 0,5 $.
Donc $ 4u_n - 3v_n = 0,5\times 0,3^{n-1} $.
        \end{questions}

  \item
        \begin{questions}
            \item On a le système :

            \begin{align*}
                        & \begin{cases}
                             u_n + v_n = 1,\\
                            4u_n -3v_n = 0,5\times 0,3^{n-1}
                        \end{cases}\\
                  \iff &
                        \begin{cases}
                             v_n = 1 -u_n ,\\
                            4u_n -3(1-u_n) = 0,5\times 0,3^{n-1}
                        \end{cases}
                        \\
                  \iff
                        & \begin{cases}
                             v_n = 1 -u_n ,\\
                            7u_n = 3 + 0,5\times 0,3^{n-1}
                        \end{cases}\\
                  \iff &
                        \begin{cases}
                             u_n = \dfrac{3}{7} + \dfrac{0,5}{7}\times 0,3^{n-1},\\[12pt]
                            v_n = 1 - u_n = \dfrac{4}{7}- \dfrac{0,5}{7}\times 0,3^{n-1}
                        \end{cases}
            \end{align*}

            \item Comme $ 0 < 0,3 < 1 $, on sait que $\dlim_{n\to +\infty} 0,3^{n-1} = 0$, donc
                 \[ \lim_{n\to +\infty} u_n = \dfrac{3}{7} \text{\quad et\enspace} \lim_{n\to +\infty} v_n = \dfrac{4}{7}. \]%
            Par conséquent au bout d'un grand nombre de parties, Jean-Philippe a plus de chances de gagner que Pierre.

        \end{questions}

\end{questions}
