\begin{questions}
\item Une augmentation de 20\% se traduit par la multiplication de $u_n$ par\linebreak $1+\dfrac{20}{100}=1,2$.

Ensuite, on diminue de 100 ne nombre de bactéries, ce qui donne au final l'égalité:
\[
u_{n+1} = 1,2u_n - 100.
\]

\item Si l'effectif restait constant chaque heure, cela signifierait que $u_1=u_0$. Or, $u_1=1,2u_0-100$, donc:
\begin{align*}
u_0 = 1,2u_0 - 100 & \iff u_0-1,2u_0 = -100\\
                   & \iff -0,2u_0 = -100\\
                   & \iff u_0 = \dfrac{-100}{-0,2}\\
                   & \iff u_0 = 500.
\end{align*}

\item
\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$, on a:
\begin{align*}
v_{n+1} &  = u_{n+1}-500\\
        & = (1,2u_n-100)-500\\
        & = 1,2u_n - 600\\
        & = 1,2\left(u_n - \dfrac{600}{1,2}\right)\\
        & = 1,2(u_n - 500)\\
        & = 1,2v_n.
\end{align*}
Ainsi, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,2$ et de premier terme:
\[
v_0=u_0-500=\numprint{1000}-500=500.
\]

\item D'après le cours,
\[
v_n=v_0 \times q^n = 500 \times 1,2^n
\]
car $(v_n)$ est une suite géométrique.

Or,
\[
v_n = u_n-500
\]
donc:
\begin{align*}
u_n & = v_n+ 500\\
\text{soit }u_n& = 500 \times 1,2^n + 500.
\end{align*}

\end{questions}

\item Plus $n$ grandit, plus $1,2^n$ devient grand (car $1,2>1$).

On peut alors conjecturer que le terme $u_n$ grandit de plus en plus sans limite (on peut dire que \og $u_n$ tend vers $+\infty$  lorsque $n$ tend vers $+\infty$ \fg{}).

Or, $u_n$ représente le nombre de bactéries au bout de $n$ heures.

On peut alors conjecturer que ce nombre augmente sans arrêt d'heure en heure à l'infini.
\end{questions}
