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%%% NEW 2024

\begin{qcm}{Questions de cours}{5}
Parmi les propositions faites, une seule est correcte. Laquelle ?

\begin{questions}
\item  Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$. Soit $\mathcal{T}_2$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 2.

On sait que $f'(2)=0$. Alors :
\begin{itemize}
\item[\choix] $\mathcal{T}$ est verticale.
\item[\choix] $\mathcal{T}$ est horizontale.
\item[\choix] $\mathcal{T}$ est une droite croissante.
\item[\choix] $\mathcal{T}$ est une droite décroissante.
\end{itemize}

\item \resetchoix La fonction $f$ est représentée par une courbe dont la tangente au point d'abscisse $-1$ a pour équation réduite: $y=5x+3$. Alors:
\begin{itemize}
\item[\choix] $f'(-1)=5$.
\item[\choix] $f'(-1)=3$.
\item[\choix] $f(-1)=3$.
\end{itemize}

\item \resetchoix La fonction $f$ est représentée par une courbe dont la tangente au point d'abscisse $5$ a pour équation réduite: $y=-5x+5$. Alors:
\begin{itemize}
\item[\choix] $f'(5)=5$.
\item[\choix] $f(5)=5$.
\item[\choix] $f(5)=-20$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. En effet, si le nombre dérivé de $f$ en 2 vaut 0 alors le coefficient de la tangente au point d'abscisse 2 vaut 0. Ainsi, la tangente est horizontale.

\item Réponse \choix[a]. En effet, le coefficient directeur de la tangente est le nombre dérivé. Or, si $y=5x+1$ est l'équation réduite de la tangente, alors son coefficient directeur vaut 5, d'où $f'(-1)=5$.
\begin{Remarque}la proposition \choix[c] ne pouvait pas être correcte car d'après le cours, l'équation réduite de la tangente est:
\[
y=f'(-1)\big(x-(-1)\big)+f(-1) \iff y=f'(-1)x + f'(-1)+f(-1).
\]
Or, l'énoncé nous dit que cette équation est $y=5x+1$. On devrait donc avoir:
\[
\begin{cases}
f'(-1) = 5\\
f'(-1)+f(-1)=1
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
f'(-1) = 5\\
f(-1)=1-5=-4.
\end{cases}
\]
\end{Remarque}

\item Réponse \choix[c]. En effet, d'après le cours, l'équation réduite de la tangente est:
\[
y=f'(5)\big(x-5\big)+f(5) \iff y=f'(5)x -5 f'(5)+f(5).
\]
Or, l'énoncé nous dit que cette équation est $y=-5x+5$. On devrait donc avoir:
\[
\begin{cases}
f'(5) = -5\\
-5f'(5)+f(5)=5
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
f'(5) = -5\\
f(5)=5-25=-20.
\end{cases}
\]
\end{questions}
\end{corrige}



%%% 

\begin{qcm}{Ensemble de définition et de dérivabilité}{10}
Parmi les propositions faites, une seule est correcte. Laquelle ? Justifier en donnant, selon les cas, l'ensemble de définition ou l'ensemble de dérivabilité le plus grand qui convienne.
\begin{questions}
\item La fonction $f$ est définie sur $\R_+$ par $f(x) = 2x\sqrt{x}$.\\
La fonction $f$ est dérivable sur :\par\resetchoix\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $]0~;+\infty[$ & \choix{} $[0~;+\infty[$ & \choix{} $\R\setminus\{0\}$
\end{tabularx}

\item La fonction $g:x\mapsto -\dfrac{3}{x^2+5}$ est définie sur :\par\resetchoix\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $\R$ & \choix{} $\R\setminus\left\lbrace\sqrt{5}\right\rbrace$ & \choix{} $\R_+$
\end{tabularx}

\item La fonction $h:x\mapsto \dfrac{x^3}{5}-4x^2+\sqrt{3}$ est définie sur :\par\resetchoix\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $\R$ & \choix{} $\R\setminus\left\lbrace 5 \right\rbrace$ & \choix{} $\R_+$
\end{tabularx}

\item La fonction $h$ définie à la question précédente est dérivable sur :\par\resetchoix\hskip-0.6em
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\choix{} $\R_+$ & \choix{} $\R$ & \choix{} $\R_+^*$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. En effet, la fonction $f$ est dérivable sur $]0~;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.\\
\'Etudions maintenant la dérivabilité de $f$ en 0 en revenant à la définition :
\[ \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h\sqrt{h}}{h}=\lim_{h\to 0}\sqrt{h}=0. \]
Donc $f$ est dérivable en 0 et $f '(0) = 0$.

\item Réponse \choix[a]. En effet, $x^2 + 5\geqslant 5$ puisque $x^2$ ne peut être négatif. Donc le dénominateur ne s'annule jamais.

\item Réponse \choix[a]. L'erreur consisterait à confondre $\sqrt{3}$ et $\sqrt{x}$.

\item Réponse \choix[b]. De même la dérivée de $x\mapsto\sqrt{3}$ est 0, puisque $\sqrt{3}$ est un nombre réel.
\end{questions}
\end{corrige}


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\begin{vf}{Dérivabilité}{10}
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
\begin{questions}
\item Si une fonction $f$ est définie en $x_0$, alors $f$ est dérivable en $x_0$.
\item La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 donc la fonction $f : x \mapsto x\sqrt{x}$ ne l'est pas non plus.
\item La dérivée d'une fonction polynôme de degré $n$ ($n\in\mathbb{N}^*$) est une\\
fonction polynôme de degré $n$.
\item Soit $f$ une fonction telle que $f(1) = 5$, alors $f'(1) = 0$.
\end{questions}
\end{vf}


\begin{corrige}
\begin{questions}
  \item \emph{Faux}. Les fonctions : $x \mapsto |x|$ et $x \mapsto
    \sqrt{x}$ sont toutes les deux définies en $x_0 = 0$ ; cependant, elles n'y sont pas dérivables.
  \item \emph{Faux}. Il est exact que la fonction : $x \mapsto \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en 0 ; cependant, $f$ est dérivable en 0.

    On a, pour tout $h>0$, $T(h) = \frac{f(h) - f(0)}{h}$. 
    Soit :    \[T(h) = \frac{h\sqrt{h}}{h} = \sqrt{h}. \]

    $T(h)$ admet une limite finie égale à 0 lorsque $h$ tend vers
    0. Donc la fonction $f$ est dérivable en 0 et $f'(0)= 0$.
  \item \emph{Faux}. La dérivée de la fonction $f(x)=x^n$ est $f(x)=nx^{n-1}$ qui est de degré $n-1$. 
  
  \item \emph{Faux}. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =x^2 + 4$. On a bien $f(1) = 5$.

    La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel  $x$, $f'(x) = 2x$. Par suite, $f'(1)=2$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 


\begin{qcm}{Dérivée et lecture graphique}{10}
\enlargethispage*{3em}
Sur la figure ci-dessous, sont représentées la fonction $f$, définie et dérivable sur $\R$, et ses tangentes aux points d'abscisse $-2$, et 3.
\begin{center}
\includegraphics{056_2_fig_2}
\end{center}

Donner la ou les bonnes réponses aux suivantes.

\begin{questions}
\item 
\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2.7cm}p{2.5cm}X}
\choix{} $f'(-2) =-\frac{5}{2}$ & \choix{} $f'(-2) =\frac{1}{5}$ & \choix{} $f'(-2) =5$
\end{tabularx}

\item \resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2.7cm}p{2.5cm}p{4cm}}
\choix{} $f'(3)=0$ & \choix{} $f'(3)=1$ & \choix{} On ne peut pas savoir
\end{tabularx}

\item \resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2.7cm}p{2.5cm}p{4cm}}
\choix{} $f'(5)=\frac{1}{7}$  & \choix{} $f'(5)=7$ & \choix{} On ne peut pas savoir
\end{tabularx}

\item L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point\linebreak d'abscisse $-2$ est :\par\resetchoix
\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2.7cm}p{2.5cm}p{4cm}}
\choix{} $y=-\frac{5}{2}x+2$ & \choix{} $y=5x+2$ & \choix{} $y=-5x-3$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse \choix[a]. La tangente au point d'abscisse $-2$ passe par les points $A(-2~;7)$ et $B(0~;2)$.\\
Son coefficient directeur est donc $\dfrac{2-7}{0-(-2)}=-\frac{5}{2}$. Or par définition, ce coefficient directeur est $f'(-2)$.

\item Réponse \choix[a]. La double flèche horizontale au point de la courbe d'abscisse 3 signifie qu'il y a en ce point une tangente horizontale, donc $f'(3) = 0$.

\item Réponse \choix[c]. La tangente en ce point n'est pas tracée donc il n'y a aucun moyen de déterminer son coefficient directeur.

\item Réponse \choix[a]. On sait déjà que le coefficient directeur de cette tangente est $-\frac{5}{2}$. De plus la droite, qui a donc une équation de la forme \linebreak$y = -\frac{5}{2}x + p$, passe par le point $A(-2~;7)$.\\
Les coordonnées de $A$ vérifient donc l'équation de la tangente et on a : $7 = -\frac{5}{2} \times (-2) + p$, ce qui donne $p = 2$.\\
L'équation de la tangente est donc $y = -\frac{5}{2}x+2$.
\end{questions}
\end{corrige}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Nombres dérivés et tangentes}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%% NEW 2024

\begin{exo}{Lecture graphique}{Lycée La Source, Meudon}{1}{5}
\begin{minipage}{4cm}
\includegraphics{057_deriv_courbfctder}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-40mm}
On a représenté ci-contre la courbe représentative d'une fonction $f$ et celle de sa dérivée $f'$.

\Par

Quelle est celle qui correspond à $f$ et à $f'$ ? 

Justifier.
\end{minipage}
\end{exo}

\begin{corrige}
Supposons que la courbe rouge soit celle de $f'$. Alors, $f'(0)=2$. Cela signifierait que la tangente au point d'abscisse 0 à l'autre courbe aurait un coefficient directeur égal à 2.

Or, la tangente au point d'abscisse 0 à la courbe bleue est horizontale, donc a un coefficient directeur égal à 0.

Ainsi, la courbe rouge n'est pas celle de $f'$.

On en conclut alors que la courbe rouge est celle de $f$, et la courbe bleue est celle de $f'$.
\end{corrige}


%%%

\begin{exo}{Équations de tangentes}{Lycée Kremlin-Bicêtre, Meaux}{1}{10}
Dans chacun des cas suivants, écrire une équation de la tangente en $M$ à la courbe $\mathcal{C}$ 
d'équation $y=f(x)$.
\begin{questions}
\begin{minipage}{0.49\linewidth}
\item $y = \dfrac{1}{x},\ M(-2~;-\dfrac{1}{2})$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\linewidth}
\item $y = \sqrt{x} + x,\ M(1~;2)$.
\end{minipage}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On sait que le coefficient directeur de la tangente en un point est égal au nombre dérivé en ce point et l'on a  $f(x) = \frac{1}{x}$.\\
La fonction $f$ est dérivable sur $\left]-\infty~;0\right[ \cup \left]0~;+\infty\right[$ et $f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}$. En particulier en $-2$ :
\[f'(-2) = -\frac{1}{4}\quad\text{et}\quad f(-2) = -\frac{1}{2}.\]
Une équation de la tangente est : \[y = -\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x+2)\]
ou encore :
\[ y = -\frac{1}{4}x-1. \]

\item  En utilisant le même raisonnement pour $f(x) = \sqrt{x}+x$, on a: \[f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}+1\]
et en particulier  :
\[f'(1) = \frac{3}{2}\quad\text{et}\quad f(1) = 2. \]
Une équation de la tangente est $y = 2 + \frac{3}{2}(x-1)$, soit :
\[y= \frac{3}{2}x+\frac{1}{2}. \]
\end{questions}
\end{corrige}


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\begin{exo}{Lecture graphique et tangente}{Lycée international Victor Hugo, Colomiers}{1}{10}
On considère une fonction $f$ définie sur $[0~;6]$. La courbe $\mathcal{C}_f$ représentant $f$ est donnée ci-dessous :
\begin{center}
\includegraphics{057_2_fig_3}
\end{center}

Cette courbe passe par les points $A(1~;0)$, $B(2~;1)$, $D(4~;4)$ et $E(6~;1)$.\\
La tangente en $A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ est confondue avec l'axe des abscisses ; la tangente en $D$ à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à cet axe.\\
La tangente à la courbe au point $E$ passe par le point $F(5~;5)$.\\
Par lecture graphique ou à l'aide des renseignements donnés :
\begin{questions}
\item Déterminer $f(4)$ et $f(6)$.
\item Déterminer $f'(4)$ et $f'(6)$.
\item Résoudre les équations $f(x) = 0$ et $f'(x) = 0$.
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}_1$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $D$, puis celle de la tangente $\mathcal{T}_2$ au point $E$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(4) = 4$ ; $f(6) = 1$.
\item $f'(4) = 0$ (on a une tangente parallèle à l'axe des abscisses) et\linebreak $f'(6) = -4$. En effet, la tangente en $E$ passe par $E(6~;1)$ et $F(5~;5)$, donc son coefficient directeur est $\frac{5-1}{5-6}=-4$.\\
Or, par définition, ce coefficient directeur est égal à $f'(6)$.
\item $f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ : le point $A$ est le seul point de la courbe sur l'axe des abscisses.\\
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ ou $x = 4$. En effet, pour ces deux valeurs on a une tangente horizontale, donc de coefficient directeur 0.
\item Pour ${\cal T}_1$ : le coefficient directeur est nul (voir question 3), et cette droite passe par le point $D$. Donc l'équation de ${\cal T}_1$ est $y = 4$.

Pour ${\cal T}_2$ : on sait déjà que le coefficient directeur est $-4$, donc l'équation est de la forme $y = -4x + $p.\\
De plus, le point $E$ appartient à la tangente, donc ses coordonnées vérifient l'équation.\\
On a donc : $1 = -4 \times  6 + p$, et donc $p = 25$.\\
L'équation réduite de ${\cal T}_2$ est $y = -4x + 25$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Hyperbole}{Lycée Sophie Germain, Paris}{2}{20}
On considère la fonction $f:x\mapsto \frac{a}{x}$, $a\in\R_+^*$.\\
On désigne par $\mathcal{H}_a$ l'hyperbole représentant cette fonction dans un plan muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ .\\
Dans la suite du problème, $M_0$ désigne le point d'abscisse $x_0$ sur $\mathcal{H}_a$, où $x_0\in\R_+^*$.
\begin{questions}
\item Donner une équation de la tangente $\Delta$ au point d'abscisse $x_0$, en fonction de $x_0$.
\item $\Delta$ coupe les droites $(Ox)$ et $(Oy)$ respectivement en $H$ et $K$.\\
Montrer que $M_0$ est le milieu du segment $[HK]$.
\item En déduire un procédé géométrique pour construire la tangente à $\mathcal{H}_a$ en $M_0$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f'(x)=-\frac{a}{x^2}$ donc $f'(x_0)=-\frac{a}{x_0^2}$.\\
L'équation de la tangente est donc : $y=-\frac{a}{x_0^2}(x-x_0)+\frac{a}{x_0}$, soit :
\[y=-\frac{a}{x_0^2}x+\frac{2a}{x_0}.\]
\item $\Delta$ coupe l'axe des abscisses lorsque $y=0$. On a alors $-\frac{a}{x_0^2}x+\frac{2a}{x_0}=0$, et donc :
\[ x=\frac{-\frac{2a}{x_0}}{-\frac{a}{x_0^2}}=-\frac{2a}{x_0}\times\frac{-x_0^2}{a}=2x_0.\]
$H$ a donc pour coordonnées $(2x_0~;0)$.\\
$\Delta$ coupe l'axe des ordonnées lorsque $x = 0$, on a alors $y = \frac{2a}{x_0}$.\\
$K$ a donc pour coordonnées $\left(0~;\frac{2a}{x_0}\right)$.\\
Le milieu de $[HK]$ a pour coordonnées $\left(\frac{2x_0+0}{2}~;\frac{0+\frac{2a}{x_0}}{2}\right)$, soit\linebreak $\left(x_0~;\frac{a}{x_0}\right)$,  et ce sont bien les coordonnées de $M_0$.

\item Il y a en fait deux constructions possibles :
\begin{itemize}
\item Soit on s'intéresse au triangle $OHK$ : il est rectangle en $O$, et sa\linebreak médiane issue de O est $[OM_0]$ d'après le résultat précédent.\\
Or, dans un triangle rectangle, la médiane a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse.\\
Donc on peut tracer un cercle de rayon $OM_0$ et de centre $M_0$.\\ Il coupera les deux axes en $H$ et $K$.
\begin{center}
\includegraphics{067_2_fig_18}
\end{center}
\item On pourrait aussi n'utiliser que le résultat intermédiaire, qui est l'abscisse de $H$ : on reporte deux fois l'abscisse $x_0$ à partir de $O$ sur l'axe des abscisses, puis on joint les points $H$ et $M_0$, ce qui permet de tracer la tangente.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 2019 

\begin{exo}{Étude d'une tangente}{Lycée Camille See, Paris}{2}{20}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{étude d'une tangente}{https://media.prepamath.fr/IL1Mch02exo09}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch02exo09}}}
\vspace*{-5mm}

Déterminer $m$ pour que la courbe représentative ${\cal C}$ de la fonction définie par :
\[f(x)=\frac{mx+1}{(2-m)x+3}\]
admette au point d'abscisse $-1$ une tangente de coefficient directeur $-2$.
\end{exo}

\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.5){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1Mch02exo09}}}
\vspace*{-5mm}

Pour que la courbe représentative ${\cal C}$ de la fonction définie par\linebreak $f(x)=\frac{mx+1}{(2-m)x+3}$ admette au point d'abscisse $-1$ une tangente de\linebreak coefficient directeur $-2$, il faut d'abord que $f$ soit définie en $-1$, donc que $(2-m)(-1)+3\neq 0$, c'est-à-dire $m \neq-1$.

$f$ est alors dérivable en $-1$ et on doit avoir $f'(-1) = -2$. La dérivée de $f$ vaut :
\begin{align*}
f'(x) & = \frac{m(2x-mx+3)-(mx+1)(2-m)}{(2x-mx+3)^{2}} \\      
&= \frac{2mx-m^{2}x+3m-2mx-2+m^{2}x+m}{(2x-mx+3)^{2}} \\      
&= \frac{4m-2}{(2x-mx+3)^{2}}.
\end{align*}
Au point $-1$, on a:
 \[f'(-1) = \frac{4m-2}{(m+1)^{2}}.\]
 Il faut donc avoir : $\begin{aligned}[t] 
 \frac{4m-2}{(m+1)^{2}} &= -2 \\
 2-4m &= 2m^{2}+4m+2\\
 2m^{2}+8m& = 0.
 \end{aligned}$
 
 On obtient alors $m=0$ ou  $m=-4$, qui sont donc les deux solutions\linebreak recherchées : $S = \{-4, 0\}$.
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Tangentes parallèles}{Lycée Jacques Amyot, Auxerre}{2}{20} 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+3x^2-9x+6$ et $\cal C$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
\begin{questions}
\item Soit $a\in \R$. Exprimer $f'(a)$.
\item Donner une équation de la droite $(T)$, tangente à $\cal C$ au point d'abscisse~2.
\item Montrer qu'il existe un autre point de $\cal C$ en lequel la tangente est parallèle à $(T)$.
\item La courbe $\cal C$ admet-elle des tangentes parallèles à l'axe des abscisses ? Si oui, préciser en quel(s) point(s).
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La dérivée de $f$ est :
\[
f'(x)=3x^2+6x-9.
\]
Ainsi, 
\[
\forall a\in\R,\ f'(a)=3a^2+6a-9.
\]

\item D'après le cours, l'équation réduite de la tangente à $\cal C$ au point d'abscisse $a$ est:
\[
y=f'(a)(x-a)+f(a).
\]
Pour $a=2$, on obtient:
\begin{align*}
&y=f'(2)(x-2)+f(2)\\
\iff & y=(3\times2^2+6\times2-9)(x-2)+(2^3+3\times2^2-9\times2+6\\
\iff & y= 15(x-2)+8\\
\iff & y=15x-22
\end{align*}
L'équation réduite de $(T)$ est donc $y=15x-22$.

\newpage

\item S'il existe un point d'abscisse $b$ en lequel la tangente à $\cal C$ est parallèle à $(T)$, alors $f'(b)=15$ (les coefficients directeurs des tangentes sont nécessairement égaux).
\begin{align*}
f'(b)=15 & \iff 3b^2+6b-9=15\\
& \iff 3b^2+6b-24=0\\
& \iff b^2+2b-8=0\text{ (en divisant tout par 3)}.
\end{align*}
Le discriminant du trinôme $b^2+2b-8$ est :
\[
\Delta=2^2-4\times1\times(-8)=36.
\]
Il a donc deux racines:
\[
b_1=\dfrac{-2-6}{2}=-4\qquad\text{ et }\qquad b_2=\dfrac{-2+6}{2}=2.
\]
Il y a donc deux points en lesquels le coefficient directeur de la tangente à $\cal C$ est égal à 2 : celui d'abscisse $-4$ et celui d'abscisse 2 (déjà vu précédemment).

\item $\cal C$ admet une ou des tangentes parallèles à l'axe des abscisses s'il existe au moins une valeur de $a$ pour laquelle $f'(a)=0$
\begin{align*}
f'(a)=0 & \iff 3a^2+6a-9=0\\
& \iff a^2+2a-3=0\text{ (en divisant tout par 3)}.
\end{align*}
$a_1$ est une racine évidente de $a^2+2a-3$ donc la seconde racine est $a_2=-3$ (on utilise le résultat $a_1a_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3}{1}$).

Il existe donc bien deux points (d'abscisses respectives 1 et $-3$) en\linebreak lesquels la tangente à $\cal C$ est horizontale.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 

\begin{exo}{Utiliser des renseignements}{Lycée du Parc, Lyon}{3}{15}
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $]0~;+\infty[$, strictement croissante sur l'intervalle $]0 ~; 2]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[2~;+\infty[$. La fonction n'est pas définie en 0.
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur son ensemble de définition.\\
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.\\
$\mathcal{C}$ passe par les points A$\left(\dfrac{1}{2}~;-2\right)$, B$(1~;0)$ et C$(2~;1)$.\\
E est le point de coordonnées $\left(1~;\dfrac{3}{2}\right)$.\\
La courbe $\mathcal{C}$ admet au point C une tangente parallèle à l'axe des abscisses.\\
La droite (AE) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en A.
\begin{questions}
\item Que vaut $f(2)$, $f'(2)$, $f\left(\frac{1}{2}\right)$ et $f'\left(\frac{1}{2}\right)$ ?
\item Donner l'équation de la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$.
\item On sait de plus que l'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions, 1 et $3,5$.\\
Tracer, dans un repère orthonormal, une courbe pouvant représenter la fonction $f$, ainsi que les tangentes aux point A et C.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item C a pour coordonnées $(2 ~; 1)$ et appartient à $\mathcal{C}$. 

Donc $f(2) = 1$.

\Par

La tangente en C à $\mathcal{C}$ est parallèle à l'axe des abscisses donc:
\[
f'(2) = 0.
\]

\Par

A$\left(\dfrac{1}{2}~;-2\right)$ appartient à $\mathcal{C}$, donc :
\[
f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-2.
\]

\Par

(AE) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en A, donc le coefficient directeur de (AE) est égal à la dérivée de $f$ en l'abscisse de A. 

\Par

Ce coefficient directeur est égal à :
\[
\dfrac{\frac{3}{2}-(-2)}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}}=7.
\]

\Par

On a donc $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=7$.

\item On utilise la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
\[ y=7\left(x-\frac{1}{2}\right)-2=7x-\frac{7}{2}-2=7x-\frac{11}{2}. \]
L'équation de la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$ est $y=7x-\dfrac{11}{2}$.

\item On a le graphique suivant :
\begin{center}
\includegraphics{070_2_fig_8}
\end{center}
\end{questions}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Dérivabilité}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%

\begin{exo}{Dérivabilité en \boldmath$a=1$}{Lycée Alain, Le Vésinet}{1}{10}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par : $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$.
\Par
On pose, pour $h \neq 0$ : $t(h)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$.
\begin{questions}
\item Montrer que l'on a : $t(h)=\frac{-2-h}{(1+h)^{2}}$.
\item Montrer que $f$ est dérivable en $1$ et préciser son nombre dérivé.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On a :
\begin{align*}
t(h) & =  \frac{f(1+h)-f(1)}{h} =   \frac{\dfrac{1}{(1+h)^{2}}-\dfrac{1}{1^{2}}}{h}  = \frac{ \dfrac{1}{(1+h)^{2}}-1}{h} 
\\
     & =  \frac{1-(1+h)^{2}}{h(1+h)^{2}}  =  \frac{-h^{2}-2h}{h(1+h)^{2}} =   \frac{-2-h}{(1+h)^{2}}.
     \end{align*}
\item On a donc $\lim_{h \to 0}t(h) = -2$, d'où:
\[\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = -2.\]
$f$ est dérivable en $1$ et son nombre dérivé en $1$ vaut $-2$. 
\par
Soit : $f'(1) = -2$.
\end{questions}
\end{corrige}

%%%  

\begin{exo}{Valeur absolue et dérivabilité}{Lycée Jeanne d'Albret, Saint-Germain-en-Laye}{2}{15}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = |x^2 - 4| - 1$. 
\par
\'Etudier la dérivabilité de $f$ en $a = 2$.
\end{exo}

\begin{corrige}
Soit $h$ un réel non nul, le taux de variation de la fonction $f$ entre $2$ et $2+h$ est :
\[ t(h) = \frac{f(2+h) - f(2)}{h}. \]
Comme $f(x) = |x^2-4| - 1$, alors $t(h ) = \dfrac{|(2+h)^2 - 4| - 1+1}{h}$.
\par
Soit après réduction :
\[
t(h) = \frac{ |h^2 + 4h|}{h}.
\]
On écrit $t(h)$ sous la forme $\dfrac{|h|}{h} \times |h+4|$.
\Par
Deux cas doivent alors être distingués :
\begin{itemize}
\item Si $h > 0$, alors $t(h) = h + 4$.
\item
Si $h < 0$, alors $t(h) = -|h + 4|$.
\end{itemize}
Il en résulte que $t(h)$ n'a pas de limite en $0$. En effet, si $h$ tend vers $0$ par valeurs positives, $t(h)$ tend vers $4$ (calcul effectué dans la première expression) et si $h$ tend vers $0$ par valeurs négatives, alors $t(h)$ tend vers $-4$ (calcul effectué dans la seconde expression).
\Par
On en déduit que $f$ n'est pas dérivable en $a = 2$.
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\sectionnn{Fonctions dérivées}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%

\begin{exo}{Quotients}{Lycée Jean Renoir, Bondy}{1}{15}
Déterminer le domaine de définition ${\cal D}_{f}$ des fonctions suivantes, ainsi que leur dérivée $f'(x)$.
\begin{questions}
\item  $f(x) = \dfrac{3x^{2}-4x+7}{2x^{2}-x-1}$.
\item  $f(x) = 3-5x + \dfrac{1}{4x-7}$.
\item $f(x)=\frac{2x+3}{(-x^2+2)(x+3)}$.
\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  $f(x)$ existe si et seulement si $2x^{2}-x-1 \neq 0$.
\par
Étudions le trinôme $2x^{2}-x-1$ :\\
$\Delta=9$ donc ses racines sont :
\[
x_1=\frac{1+3}{4}=1 \qquad \text{et} \qquad x_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}.
\]
Finalement :
\[
{\cal D}_f=\R \setminus \left\{ -\frac{1}{2}~; 1 \right\}
\]
La fonction $f$ est une fonction rationnelle. Elle est dérivable sur son ensemble de définition.
        \begin{align*}
        f'(x) &= \displaystyle \frac{(6x-4)(2x^{2}-x-1)-(3x^{2}-4x+7)(4x-1)}{(2x^{2}-x-1)^{2}} \\
              &= \displaystyle \frac{12x^{3}-14x^{2}-2x+4-(12x^{3}-16x^{2}+28x-3x^{2}+4x-7)}{(2x^{2}-x-1)^{2}} \\
              &= \displaystyle \frac{5x^{2}-34x+11}{(2x^{2}-x-1)^{2}}.
        \end{align*}
        \item  $f(x)$ existe si et seulement si $4x-7 \not= 0$, 
        d'où :
        \[\mathcal{D}_{f} = \R \setminus \left\{\frac{7}{4}\right\}\]
        La fonction $f$ est une fonction rationnelle. Elle est dérivable sur son ensemble de définition et :
        \[
        f'(x) = -5-\frac{4}{(4x-7)^{2}}.
        \]

        \item $f(x)$ existe si et seulement si $(-x^2+2)(x+3)\not=0$, 
        soit si et seulement si $-x^2+2\not=0$ et $x+3\not=0$, 
        d'où :
        \[\mathcal{D}_f=\R\setminus\left\{ -3\,;-\sqrt{2}\,;\sqrt{2} \right\}\]

        La fonction $f$ est une fonction rationnelle, dérivable sur son ensemble de définition avec, pour tout  $x\in\mathcal{D}_f$, $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, 
        où :
        \[u(x)=2x+3\quad \text{et}\quad v(x)=(-x^2+2)(x+3)\,.\]

        On a $u'(x)=2$ et, en utilisant la formule de dérivation d'un
        produit, 
        $v'(x)=(-2x)(x+3)+(-x^2+2)(1)=-3x^2-6x+2$. 

        On a donc :
        \[\begin{aligned}
        f'(x)&=\frac{2(-x^2+2)(x+3)-(2x+3)(-3x^2-6x+2)}{(-x^2+2)^2(x+3)^2}\\
        &=\frac{4x^3+15x^2+18x+6}{(-x^2+2)^2(x+3)^2}.
        \end{aligned}
        \]
\end{questions}
\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Produits et quotients}{Lycée Sophie Germain, Paris}{1}{20}
Dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble de définition de la\linebreak fonction $f$, l'ensemble de dérivabilité de $f$, puis calculer $f'(x)$ sur son ensemble de dérivabilité.
\begin{questions}
\item $f:x\mapsto(2x-3)\sqrt{x}$.
\item $g:x\mapsto\frac{2-3x}{x^2-5x+4}$.
\item $k:x\mapsto\frac{x\sqrt{x}}{x^2+3}$.
\end{questions}
\end{exo}

%%%

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f$ est définie sur $\R_+$ et dérivable sur $\R^*_+$.\vspace*{-1em}

\enlargethispage*{5em}
\begin{align*}
f'(x) & = 2\sqrt{x}+(2x-3)\times\frac{1}{2\sqrt{x}}\\
& = \frac{2\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}+2x-3}{2\sqrt{x}}\\
& = \frac{6x-3}{2\sqrt{x}}.
\end{align*}

\Par
\begin{methode}
Il est intéressant d'aller jusqu'à la dernière écriture, car elle nous permettra d'étudier le signe de $f'(x)$.
\end{methode}

\Par

$f$ n'est pas dérivable en 0 : en effet, en revenant à la définition :
\[ \lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(2h-3)\sqrt{h}}{h}=\lim_{h\to 0}\left(2\sqrt{h}-\frac{3}{\sqrt{h}}\right).\]
Or, lorsque $h$ se rapproche de 0, $\frac{3}{\sqrt{h}}$ devient de plus en plus grand ; on dit que cette quantité tend vers l'infini. La limite du taux de variation n'est donc pas un réel, et donc $f$ n'est pas dérivable en 0.

\item $g$ est définie et dérivable comme quotient de deux fonctions polynômes, lorsque le dénominateur est non nul.\\
$\Delta= 9$, le trinôme a donc deux racines, 1 et 4.\\
La fonction $f$ est donc définie et dérivable sur $\R\setminus\{1~;4\}$.
\begin{align*}
g'(x) & = \frac{-3(x^2-5x+4)-(2-3x)(2x-5)}{(x^2-5x+4)^2}\\
& = \frac{-3x^2+15x-12-4x+10+6x^2-15x}{(x^2-5x+4)^2}\\
& = \frac{3x^2-4x-2}{(x^2-5x+4)^2}.
\end{align*}

Là encore, $g'(x)$ est sous une forme où l'étude de son signe sera facile.

\item Le dénominateur de $k(x)$ ne s'annule jamais. Par contre il y a une racine carrée.\\
Donc $k$ est définie sur $\R_+$ et dérivable sur $\R_+^*$.
\begin{align*}
k'(x) & = \frac{\left(\sqrt{x}+x\times\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(x^2+3)-x\sqrt{x}\times 2x}{(x^2+3)^2}\\
& = \frac{\left(\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}\right)(x^2+3)-2x^2\sqrt{x}}{(x^2+3)^2}\\
& = \dfrac{ \frac{3\sqrt{x}}{2}x^2 + \frac{3}{2}\sqrt{x}\times 3-2x^2\sqrt{x} }{(x^2+3)^2}\\
& = \frac{\sqrt{x}\left(\frac{9-x^2}{2}\right)}{(x^2+3)^2}.
\end{align*}

La forme obtenue à la fin peut laisser penser que $k$ est dérivable en 0, puisque rien ne s'opposerait à remplacer $x$ par 0 dans cette formule.

Il nous faut revenir à la définition :

\[ \lim_{h\to 0}\frac{k(0+h)-k(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{h\sqrt{h}}{h^2+3}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h}}{h^2+3}=0.\]

\Par

Donc la fonction $k$ est bien dérivable en 0, et son ensemble de dérivabilité est finalement $\R_+$.
\end{questions}
\end{corrige}



%\begin{exo}{Dérivabilité d'un produit}{Lycée Pierre de Fermat, Toulouse}{2}{15}
%On sait que si $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables en $a$, alors la fonction $fg$ est dérivable en $a$ et on sait que $(fg)'(a)  = f '(a) g(a) + f(a) g'(a)$.
%
%Soit  la fonction $\phi$ définie sur $\R$ par $\phi(x)=x|x|$. 
%\begin{questions}
%\item La fonction $\phi$ est-elle dérivable en $0$ ?
%\item La condition \og $f$ et $g$ dérivables en $a$ \fg{} est-elle nécessaire pour que $(fg)$ soit dérivable en $a$ ?
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item La fonction $\phi$ est définie sur $\R$ par $x \mapsto x|x|$.
%
%Soit $h$ un réel non nul, on pose : 
%\[t(h) = \dfrac{\phi(h) - \phi(0)}{h}.\]
%On a alors :
%\[t(h) = \dfrac{h|h|}{h} = |h|. \]
%Il s'ensuit que $\lim_{h \to 0}  t(h) = 0$.
%
%On en déduit que la fonction $\phi$ est dérivable en $0$ et que $\phi' (0) = 0$.
%
%\item Considérons les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x) = x$ et\linebreak $g(x) = |x|$.
%
%La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ donc en particulier, elle est dérivable en $0$.
%
%En revanche, la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en $0$.
%Or, $\phi = fg$ et on a prouvé que la fonction $\phi$ est dérivable en $0$.
%
%On peut alors conclure que la condition \og{}$f$ et $g$ dérivables en $a$\fg{}  n'est pas nécessaire pour 
%que $fg$ soit dérivable en $a$. Puisque $f$ est dérivable en $0$, $g$ ne l'est pas et néanmoins le produit $fg$ est dérivable en $0$.
%\end{questions}
%\end{corrige}

%%%

\begin{exo}{Recherche de fonctions dérivées}{Lycée Richelieu, Rueil-Malmaison}{1}{20}
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
\begin{questions}
\item  $f(x) = \dfrac{2x+1}{x^{2}-x+1}$. 
\item  $g(x) = \dfrac{1}{x^{4}-x^{2}+1}$.
\item  $h(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. 
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(x) = \frac{2x+1}{x^{2}-x+1}$.\\
La fonction $f$ est une fonction rationnelle. Elle est dérivable sur son ensemble de définition. Or, le discriminant du trinôme $x^{2}-x+1$ est~$-3$.

Donc l'équation $x^{2}-x+1=0$ n'admet pas de solution réelle.\\
On en déduit que $f$ est définie et dérivable sur $\R$.
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{2(x^{2}-x+1)-(2x+1)(2x-1)}{(x^{2}-x+1)^{2}} \\
              &= \frac{2x^{2}-2x+2-4x^{2}+1}{(x^{2}-x+1)^{2}} \\
              &= \frac{-2x^{2}-2x+3}{(x^{2}-x+1)^{2}}.
\end{align*}

\item On doit chercher si le dénominateur s'annule pour certaines valeurs de~$x$.

$x^4-x^2 +1 = 0$ est une équation dite \textit{bicarrée} : pour la résoudre, on pose $X = x^2$, et l'équation devient alors:
\[
X^2 - X + 1 = 0.
\]
Cette équation est celle de la question 1., et nous avons montré qu'elle n'avait pas de solution réelle (discriminant négatif).\\
Donc l'équation $x^4-x^2 +1 = 0$ n'a pas de solution non plus, et $g$ est définie et dérivable sur $\R$.
\[g'(x) = -\dfrac{4x^{3}-2x}{(x^{4}-x^{2}+1)^{2}}.\]              

\item  $h(x)= \frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{x}}$. La fonction $h$ est définie et dérivable sur $\left]0~;+\infty \right[$.
\[ h'(x) = \frac{1}{2} \left( - \frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} \right) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}.\]
\end{questions}
\end{corrige}


%%% NEW 2024

\begin{exo}{Dérivées pêle-mêle}{Lycée La Source, Meudon}{2}{20}
Calculer la dérivée des fonctions suivantes, en précisant leur ensemble de dérivabilité.
\begin{questions}
\item $f(x)=-\dfrac{x^5}{5}+4x^3+\frac{2}{5}x+2\pi$.
\item $f(x)=-\dfrac{5}{x}+2\sqrt{x}$.
\item $f(x)=\frac{1}{-x+4}$.
\item $f(x)=(4-3x)^4$.
\item $f(x)=\sqrt{-2x+4}$.
\item $f(x)=\frac{1}{(5x+3)^3}$.
\item $f(x)=|5-7x|$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(x)=-\dfrac{x^5}{5}+4x^3+\frac{2}{5}x+2\pi$.

$f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\R$. On dérive terme à terme pour obtenir:
\[
f'(x)=-\frac{5x^4}{5}  + 4\times 3x^2 + \frac{2}{5}\times1 + 0 = -x^4 + 12x^2 + \frac{2}{5}.
\]
\item $f(x)=-\dfrac{5}{x}+2\sqrt{x}$.

$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ car il y a la fonction racine carrée dans son expression. En dérivant terme à terme, on obtient:
\[
f'(x)=-\left(-\frac{5}{x^2}\right) + 2\times\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{5}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}.
\]

\item $f(x)=\frac{1}{-x+4}$.

$f$ est dérivable sur $]-\infty;4[$ et sur $]4;+\infty[$, et on remarque que :
\[
f(x)= g(-x+4)\qquad\text{avec}\qquad g(x)=\frac{1}{x}\text{ et } g'(x)=-\frac{1}{x^2}.
\]
Ainsi, on utilise la formule du cours: $\big(g(ax+b)\big)' = a \times g'(ax+b)$.
\[
f'(x)  = -1 \times \left( - \frac{1}{(-x+4)^2} \right) = \frac{1}{(-x+4)^2}.
\]


\item $f(x)=(4-3x)^4$.

$f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\R$. De plus, 
\[
f(x)=g(4-3x)\qquad\text{avec}\qquad g(x)=x^4\text{ et }g'(x)=4x^3.
\]
D'où:
\[
f'(x)=-3\times 4 (4-3x)^3 = -12(4-3x)^3.
\]

\item $f(x)=\sqrt{-2x+4}$.

$f$ est dérivable sur $]-\infty;2[$ car $-2x+4>0 \iff x < 2$. De plus, 
\[
f(x)=g(-2x+4)\qquad\text{avec}\qquad g(x)=\sqrt{x}\text{ et }g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
\]
D'où:
\[
f'(x)=-2\times\frac{1}{2\sqrt{-2x+4}}=-\frac{1}{\sqrt{-2x+4}}.
\]

\item $f(x)=\frac{1}{(5x+3)^3}$.

$f$ est dérivable sur $\left]-\infty;-\frac{3}{5}\right[$ et sur $\left]-\frac{3}{5};+\infty\right[$. De plus,
\[
f(x)=g(5x+3)\qquad\text{avec}\qquad g(x)=\frac{1}{x^3}\text{ et }g'(x)=-\frac{3}{x^4}.
\]
D'où:
\[
f'(x)=5\times\left(-\frac{3}{(5x+3)^4}\right) = -\frac{15}{(5x+3)^4}.
\]

\item $f(x)=|5-7x|$. $f$ est dérivable sur $\left]-\infty;-\frac{5}{7}\right[$ et sur $\left]-\frac{5}{7};+\infty\right[$ car $5-7x=0 \iff x = \frac{5}{7}$. De plus,
\[
f(x)=g(5-7x)\qquad\text{avec}\qquad g(x)=|x|\text{ et }g'(x)=\frac{|x|}{x}.
\]
D'où:
\[
f'(x)=-7 \times \frac{|5-7x|}{5-7x} = -\frac{7|5-7x|}{5-7x}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}

%%% (modif. 2019) % import

\begin{exo}{Coût marginal}{Lycée Fénelon, Paris}{2}{20}
Le coût de production de $x$ objets est donné par la fonction :
\[C(x) = 180 + 12x-0,01 x^2.\]
\begin{questions}
\item  Le coût marginal $C_m(x)$ est défini comme l'accroissement du coût total occasionné par la production de la $x$\ieme{} pièce, ce qu'on peut écrire :
\[ C_m(x) = C(x)-C(x-1).\]
Donner l'expression de $C_m(x)$ dans le cas étudié.
\item Donner l'expression de la dérivée $C'(x)$.
\item Si l'on utilise $C'(x)$ comme valeur approchée du coût marginal $C_m(x)$, quelle erreur commet-on ?\\
Donner la valeur de cette erreur lorsqu'on produit le 100\ieme{} objet.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
%{\fontsize{9}{11}\selectfont
$\begin{aligned}[t]
C_m(x) & = C(x)-C(x-1) \\
& = 180 + 12x-0,01x^2 - \left[180 + 12(x-1)-0,01(x-1)^2\right]\\
& = 180 + 12x-0,01x^2 -180 - 12x + 12 + 0,01x^2  - 0,02x + 0,01 \\
& = -0,02x +12,01.
\end{aligned}$
%}
\item $C'(x) = 12-0,02x$.
\item L'erreur commise est $C_m(x) - C'(x) = + 0,01$, et ce, quel que soit l'objet produit.\\
Donc l'erreur produite lorsqu'on produit le 100\ieme{} objet est $0,01$.
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 

\begin{exo}{Valeur annulant la dérivée}{Lycée Charlemagne, Paris}{2}{20}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle I de $\R$ telles que $v$ et $v'$ ne s'annulent pas sur cet intervalle.
\begin{questions}
\item On considère la fonction $f =\frac{u}{v}$.\\
Prouver que si $a$ est un nombre de I tel que $f'(a) = 0$, alors\linebreak $f(a)=\frac{u'(a)}{v'(a)}$.
\item Application.\\
On pose $f(x) =\frac{x^2+3x-4}{x^2+1}$ définie pour tout $x$ de $\R$.
\begin{questions}
\item Calculer $f'(x)$ et donner la valeur exacte de $a$, nombre positif tel que $f'(a) = 0$.
\item Utiliser le résultat de la question 1. pour donner la valeur exacte de $f(a)$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Avec la définition de $f$, on peut calculer sa dérivée :
\[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}. \]
On sait que $f'(a) = 0$, donc on a $u'(a)v(a)-u(a)v'(a) = 0$ (un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul, ce qui est le cas d'après les hypothèses).\\
On a donc $u'(a)v(a)=u(a)v'(a)$, et en divisant successivement par $v'(a)$ et $v(a)$ (on peut le faire puisque $u$ et $v$ ne s'annulent pas sur $I$), on obtient : $\frac{u'(a)}{v'(a)}=\frac{u(a)}{v(a)}=f(a)$ par définition.

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = \frac{(2x+3)(x^2+1)-(x^2+3x-4)(2x)}{(x^2+1)^2}\\
& = \frac{2x^3+3x^2+2x+3-2x^3-6x^2+8x}{(x^2+1)^2}\\
& = \frac{-3x^2+10x+3}{(x^2+1)^2}.
\end{aligned}$

Cette dérivée s'annule si et seulement si $-3x^2 + 10x + 3 = 0$.\\
$\Delta = 100 + 36 = 136 = 4 \times  34$.\\
Les racines sont donc $x' = \frac{-10-2\sqrt{34}}{-6}$ et $x'' = \frac{-10+2\sqrt{34}}{-6}$. Seule $x'$ est positive, donc c'est elle qui est notée $a$. $a = \frac{5+\sqrt{34}}{3}$.

\item D'après la question 1, $f(a) = \frac{u'(a)}{v'(a)}$ avec $u(x) = x^2 + 3x -4$ et $v(x) = x^2 + 1$.

\begin{align*}
f(a) & =\frac{2a+3}{2a}\\
& = \frac{2\times\frac{5+\sqrt{34}}{3}+3}{2\times\frac{5+\sqrt{34}}{3}}\\
& = \frac{19+2\sqrt{34}}{10+2\sqrt{34}}\\
& = \frac{(19+2\sqrt{34})(10-2\sqrt{34})}{(10+2\sqrt{34})(10-2\sqrt{34})}\\
 & = \frac{190-4\times 34+20\sqrt{34}-38\sqrt{34}}{100-4\times 34}\\
& = \frac{54-18\sqrt{34}}{-36}\\
& = \frac{18\sqrt{34}-54}{36}\\
& = \frac{\sqrt{34}-3}{2}.
\end{align*}
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

%%% NEW 2024

\begin{exo}{Position relative}{Lycée Saint-Joseph-Du-Loquidy, Nantes}{2}{30}
On considère la fonction $f(x)=\frac{6x+4}{2x+1}$, et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\begin{questions}
\item Sur quel ensemble $\mathcal{D}$ la fonction $f$ est-elle définie ?
\item Montrer que pour tout réel $x$ de $\mathcal{D}$, $f'(x)=\frac{-2}{(2x+1)^2}$.
\item On appelle $\mathcal{T}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

Déterminer une équation de $\mathcal{T}$.

\item Montrer que la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-1$ est parallèle à $\mathcal{T}$.

\item Déterminer la position relative de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{T}$.

\item Soit $a$ un réel quelconque non nul. Montrer que les tangentes à $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $-\frac{1}{2}+a$ et $-\frac{1}{2}-a$ sont parallèles.

\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La fonction $f$ est définie pour tous réels $x$ tels que $2x+1\neq0$, soit pour $x \neq -\frac{1}{2}$.

Le domaine de définition de $f$ est donc:
\[
\mathcal{D} = \R\setminus\left\{-\frac{1}{2}\right\}.
\]

\item $f$ est de la forme $\frac{u}{v}$ avec:
\[
\begin{array}{lll}
u(x)=6x+4 & \qquad & v(x)=2x+1\\
u'(x)=6 & \qquad & v'(x)=2
\end{array}
\]
Ainsi, 
\begin{align*}
f'(x) & = \left(\frac{u'v-v'u}{v^2}\right)(x)\\
& = \frac{6(2x+1)-2(6x+4)}{(2x+1)^2}\\
& = \frac{12x+6-12x-8}{(2x+1)^2}\\
& = \frac{-2}{(2x+1)^2}.
\end{align*}

\item On a:
\begin{itemize}
\item $f(0) = \frac{6\times0+4}{2\times0+1}=4$;
\item $f'(0)=\frac{-2}{(2\times0+1)^2}=-2$.
\end{itemize}
Ainsi, une équation de $\mathcal{T}$ est:
\begin{align*}
 & y = f'(0)(x-0)+f(0)\\
\iff & y = -2x+4.
\end{align*}

\item La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-1$ a pour coefficient directeur:
\[
f'(-1) = \frac{-2}{(2\times(-1)+1)^2} = -2.
\]
Ainsi, cette tangente a le même coefficient directeur que $\mathcal{T}$; elle sont donc parallèles.

\item 
\begin{methode}
Pour trouver la position relative des courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ de deux fonctions $f$ et $g$, on étudie le signe de $f(x)-g(x)$:
\begin{itemize}
\item Si $f(x)-g(x) > 0$ pour $x\in I$ alors $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $I$;
\item Si $f(x)-g(x) < 0$ pour $x\in I$ alors $\mathcal{C}_f$ est en-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $I$;
\item Si $f(x)-g(x) = 0$ pour $x=a$ alors $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent au point d'abscisse $a$.
\end{itemize}
\end{methode}

\begin{align*}
f(x)-(-2x+4) & = \frac{6x+4}{2x+1} + 2x-4\\
& = \frac{6x+4}{2x+1} + \frac{(2x-4)(2x+1)}{2x+1}\\
& = \frac{6x+4+4x^2+2x-8x-4}{2x+1}\\
& = \frac{4x^2}{2x+1}.
\end{align*}
Or, $4x^2>0$ pour tout réel $x$. Ainsi,
\[
f(x)-(-2x+4) > 0 \iff 2x+1 > 0 \iff x > -\frac{1}{2}.
\]
De plus, 
\[
f(x)-(-2x+4) = 0 \iff 4x^2=0 \iff x=0.
\]
On en conclut alors que:
\begin{itemize}
\item $\mathcal{C}$ est au-dessus de $\mathcal{T}$ sur $\left]-\frac{1}{2};+\infty\right[$;
\item $\mathcal{C}$ est en-dessous de $\mathcal{T}$ sur $\left]-\infty;-\frac{1}{2}\right[$;
\item $\mathcal{C}$ et $\mathcal{T}$ se coupent au point d'abscisse 0.
\end{itemize}

\item Calculons pour $a \neq 0$:
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
f'\left(-\frac{1}{2}+a\right) & = \frac{-2}{\left[ 2\left(-\frac{1}{2}+a\right) + 1\right]^2}\\
& = \frac{-2}{(-1+2a+1)^2}  = \frac{-2}{4a^2}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
f'\left(-\frac{1}{2}-a\right) & = \frac{-2}{\left[ 2\left(-\frac{1}{2}-a\right) + 1\right]^2}\\
& = \frac{-2}{(-1-2a+1)^2}  = \frac{-2}{4a^2}
\end{aligned}$
\end{itemize}
On a alors:
\[
f'\left(-\frac{1}{2}+a\right) = f'\left(-\frac{1}{2}-a\right).
\]
Cela signifie donc que les tangentes à $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $-\frac{1}{2}+a$ et $-\frac{1}{2}-a$ ont le même coefficient directeur, et sont alors parallèles.
\end{questions}
\end{corrige}



%\begin{exo}{Position d'une parabole et de droites}{Lycée Thiers, Marseille}{3}{30}
%Dans un repère orthonormal, soit ${\cal P}$ la parabole d'équation : \[ y=\frac{1}{4}x^{2}. \]
%Soit ${\cal D}_{m}$ la droite d'équation $mx-y+1=0$, $m$ étant élément de $\R$.
%\begin{questions}
%\item  
%\begin{questions}
%\item  Montrer que, quel que soit $m$, ${\cal D}_{m}$ et ${\cal P}$ se coupent en deux points distincts $A$ et $B$ d'abscisses $x'$ et $x''$.
%\item Montrer que $x'x''$ ne dépend pas de $m$.
%\end{questions}
%\item  
%\begin{questions}
%\item  Calculer les coordonnées du point d'intersection $I_{m}$ des tangentes à ${\cal P}$ aux points $A$ et $B$. 
%\item Déterminer la longueur $AI_m^2+BI_m^2-AB^2$.\\
%En déduire que les tangentes à ${\cal P}$ aux points $A$ et $B$ sont perpendiculaires. 
%\item  Quel est l'ensemble des points $I_{m}$ lorsque $m$ décrit $\R$ ? 
%\end{questions}
%\end{questions}
%\end{exo}
%
%\begin{corrige}
%\begin{questions}
%\item  Donnons pour commencer un schéma de $\mathcal{P}$ et de $\mathcal{D}_{m}$ (avec $m=1$, à titre d'exemple) :
%\begin{center}
%\includegraphics{087_2_fig_9}
%\end{center}
%
%\begin{questions}
%\item  Les points d'intersection de ${\cal D}_{m}$ et ${\cal P}$ ont pour coordonnées $(x~;y)$, avec :
%\[ \left\{\begin{aligned}
%                y& = \frac{1}{4}x^2 \\
%                y &= mx+1
%                \end{aligned}\right. \eqno{(1)}
%                \]
%soit :\enlargethispage*{3em}
%           \[
%           \left\{\begin{aligned}
%               & y = mx+1\\
%       &\frac{1}{4}x^2 = mx+1
%                \end{aligned}\right.
%                \]
%                soit encore :
%                \[
%                \left\{\begin{aligned}
%               & y = mx+1\\
%                           & x^2 - 4mx - 4 = 0
%                \end{aligned}\right.
%                \]                
%La seconde équation est une équation du second degré dont le discriminant est :
%                \[
%                \Delta = (4m)^2 + 16 = 16(m^2+1).
%                \]
%                \newpage
%                 $\Delta$ est strictement positif, ce qui assure l'existence de deux solutions 
%                distinctes $x'$ et $x''$ auxquelles correspondent deux points d'intersection distincts 
%                $A(x'~;y')$ et $B(x''~;y'')$, avec :
%                \begin{align*}
%                 y' &= mx' + 1 = \frac{1}{4}{x'}^2 \\
%                 y'' &= mx'' + 2 = \frac{1}{4} {x''}^2
%                \end{align*}
%                \item  L'abscisse de $A$ est :
%\[
%x'=\frac{4m+\sqrt{16(m^2+1)}}{2}=2m+2\sqrt{m^2+1}.
%\]
%L'abscisse de $B$ est :
%\[
%x''=\frac{4m-\sqrt{16(m^2+1)}}{2}=2m-2\sqrt{m^2+1}.
%\]
%On a alors :
%\[
%\begin{aligned}
%x' \times x''&=(2m+2\sqrt{m^2+1})(2m-2\sqrt{m^2+1}) \\
%&=(2m)^2-(2\sqrt{m^2+1})^2 \\
%&=4m^2-4m^2-4 \\
%&=-4.
%\end{aligned}
%\]
%La relation cherchée est donc : $x'x''=-4$.
%\end{questions}
%\item  
%\begin{questions}
%\item  On a :
%\[A\left(x'~;\dfrac{{x'}^2}{4}\right),~B\left(x''~;
%\dfrac{{x''}^2}{4}\right),~f(x) = \frac{x^2}{4}\text{ et } f'(x)=\frac{x}{2}.\]
%La tangente à la courbe en $A$ a pour équation :
%\[y = f(x') + f'(x')(x-x') = \frac{x'^2}{4} + \frac{x'}{2}(x-x').\]
%De même, la tangente à la courbe en $B$ a pour équation :
%\[ y = \frac{x''^2}{4} + \frac{x''}{2}(x-x'').\]
%
%L'abscisse $x$ de leur point d'intersection vérifie donc :
%
%\begin{align*}
%& \frac{{x'}^2}{4}+\frac{x'}{2}(x-x') = \frac{{x''}^2}{4}+\frac{x''}{2}(x-x'')\\
%\iff\ & \frac{x'^2}{4}+\frac{xx'}{2}-\frac{x'^2}{2} = 
%\frac{x''^2}{4}+\frac{xx''}{2}-\frac{x''^2}{2} \\
%\iff\ & -\frac{x'^2}{4}+\frac{xx'}{2} = -\frac{x''^2}{4}+\frac{xx''}{2}
%\end{align*}
%
%\begin{align*}
%\iff\ & \frac{x}{2}(x'-x'') = \frac{x'^2-x''^2}{4}\\
%\iff\ & \frac{x}{2}(x'-x'') = \frac{(x'-x'')(x'+x'')}{4}.
%\end{align*}
%
%Et comme $x'-x'' \neq 0$, 
%\[ x = \frac{x'+x''}{2} = \frac{4m}{2} = 2m \qquad (\text{car } 
%x'+x''=4m).\]
%L'ordonnée vaut : \[y = \frac{{x'}^2}{4} + \frac{x'}{2}(2m-x') = \frac{{x'}^2}{4} + mx' - \frac{{x'}^2}{2} = -\frac{{x'}^2}{4} + mx'.  \]
%Or, ${x'}^2-4mx' = 4$, donc :
%\[-\frac{{x'}^2}{4}+mx' = \frac{4}{-4} = -1.\]
%Donc  $I_{m}$ a pour coordonnées $(2m~;-1)$.
%
%\item On a: 
%\[
%                AI_m^2=\left(2m-x'\right)^2+\left(1+\frac{x'^2}{4}\right)^2
%                =\left(2m-x'\right)^2+\left(2+mx'\right)^2
%                \]
%                car, comme $A\in \mathcal{D}_m$,
%                $mx'-\frac{x'^2}{4}+1=0\iff \frac{x'^2}{4}=mx'+1$, 
%                d'où :
%                \[
%                AI_m^2=4m^2+x'^2+4+m^2x'^2,
%                \]
%                et de même, $BI_m^2=4m^2+x''^2+4+m^2x''^2$.
%
%                De plus :
%                \[
%                AB^2=\left(x'-x''\right)^2
%                +\left(\frac{x'^2}{4}-\frac{x''^2}{4}\right)^2
%                =\left(x'-x''\right)^2
%                +\left(mx'-mx''\right)^2.
%                \]
%
%                On a alors :
%                \[\begin{aligned}
%                AI_m^2+BI_m^2-AB^2
%                & = 8m^2 + x'^2+ x''^2 + 8 + m'^2x'^2 + x''^2\\
%               -\left(x'^2 - 2x'x''\right. & + m^2(x'^2 + x''^2) - 2m^2x'x''
%- 8m^2 \\
%& \hspace*{15mm}\left. + 8 + 2x'x'' + 2m^2x'x''\right)\\
%                &=8m^2+8+2x'x''+2m^2x'x''.
%                \end{aligned}
%                \]
%                Comme on a de plus montré précédemment la relation 
%                $x'x''=-4$, on en déduit finalement que :
%                \[
%                AI_m^2+BI_m^2-AB^2=0
%                \]
%                et donc, d'après la réciproque du théorème de
%                Pythagore, que le triangle $ABI_m$ est rectangle en
%                $I_m$, et donc que les deux tangentes sont
%                perpendiculaires. 
%
%                \item  Lorsque, $m$ décrit $\R$, $I_{m}$ décrit la droite parallèle à l'axe des\linebreak abscisses d'équation $y=-1$, ce qui est représenté sur la figure suivante :
%                \begin{center}
%                \includegraphics{090_2_fig_10}
%                \end{center}
%                
%En effet, le point $I_m$ a pour ordonnée $-1$ pour tout $m$, et si $m$ décrit $\R$, $2m$ décrit aussi $\R$.                
%        \end{questions}
%\end{questions}
%\end{corrige}



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\AfficheCorrige
