\thumb

% ATTENTION: pas d'environnement "enumerate".
% Utiliser à la place "\begin{questions} ... \end{questions}

% 2026 (mettre l'année avant chaque exercice par anticipation sur les éditions à venir)

\begin{vf}{Interprétation d'un arbre}{15}
Indiquer pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
On considère l'arbre pondéré ci-dessous où $A$ et $B$ sont deux évènements.
\begin{center}
{\bigskip
\psset{levelsep=3cm,nodesepB=3pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,4$}}
	                        {
	                        \TR{$B$}\naput{$0,3$}
			                \TR{$\overline{B}$}\nbput{$0,7$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$ $}}
	                        {
	                        \TR{$B$}\naput{$0,4$}
			                \TR{$\overline{B}$}\nbput{$ $}
	                        }
      }
}
\bigskip
\end{center}

\begin{questions}
\item $p_A(B)=0,3$
\item $P(\overline{A})=0,6$
\item $P(A\cap B)=0,7$
\item $p_A(\overline{B})=0,7$
\item $P(\overline{A}\cap B)=0,4$
\item $p_{\overline{A}}(\overline{B})=0,6$
\item On admet que $P(B)=0,36$. Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Vrai}.$p_A(B)$ est au $2^e$ niveau de l'arbre.
\item \emph{Vrai}.$P(\overline{A})=1-P(A)=1-0,4=0,6$
\item \emph{Faux}.$P(A\cap B)=P(A) \times p_A(B)=0,4 \times 0,3=0,12$
\item \emph{Vrai}.$p_A(\overline{B})$ est au $2^e$ niveau de l'arbre.
\item \emph{Faux}.$P(\overline{A}\cap B)=P(\overline{A}) \times p_{\overline{A}}(B)=0,6 \times 0,4=0,24$.
\item \emph{Vrai}.$p_{\overline{A}}(\overline{B})$ est au $2^e$ niveau de l'arbre.
\item \emph{Faux}.$p_A(B)=0,3 \neq 0,36$.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026 
\begin{vf}{Probabilités conditionnelles}{15}
Dans une grande entreprise, 30\% des salariés sont cadres et parmi eux, 20 \% pratiquent le télétravail. Parmi les salariés non cadres, seulement 10\% pratiquent le télétravail.
On choisit au hasard un salarié et on note $C$ et $T$ les évènements respectifs :\og le salarié est cadre \fg et \og le salarié pratique le télétravail \fg.
\begin{questions}
\item $P(\overline{C})=0,7$
\item $P( C\cap T)=0,2$
\item $P_C(\overline{T})=0,8$
\item $P(\overline{C}\cap T)=0,1$
\item On admet que 13\% des salariés pratiquent le télétravail.
\begin{questions}
\item Les évènements $C$ et $T$ sont-ils indépendants ?
\item $P_T(C) \approx 0,462$
\end{questions}
\end{questions}

\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Vrai}.$P(\overline{C})=1-P(C)=1-0,3=0,7$
\item \emph{Faux}.$P(C\cap T)=P(C) \times p_C(T)=0,3 \times 0,2=0,6$
\item \emph{Vrai}.$P_C(\overline{T})=1-P_C(T)=1-0,2=0,8$
\item \emph{Faux}.$P(\overline{C}\cap T)=P(\overline{C} \times p_(\overline{C}(T)=0,7 \times 0,1=0,07$
\item 
\begin{questions}
\item \emph{Faux}.$p_C(T)=0,2 \neq 0,13$
\item \emph{Vrai}.$P_T(C)=\dfrac{P(C\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,06}{0,13}\approx 0,462$
\end{questions}

\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{qcm}{Probabilités conditionnelles}{15}
Pour chaque question, indiquer la ou les bonnes réponses.
Si besoin, les probabilités sont données arrondies au millième.
Le tableau ci-dessous donne la répartition des médailles de la France aux Jeux Olympiques de Paris de 2024.
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{TabularColor}}Zc|Zc|Zc|Zc|}
\hline
\tabulartitle  & Individuel(I) & Par équipe(E)& Total \\\hline
Or(O) & 10& 6 & 16 \\ \hline
Argent(A) & 18& 8& 26\\ \hline
Bronze(B) & 12& 10& 22 \\ \hline
Total & 40 & 24 & 64 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
On choisit une médaille au hasard et on note I,E,O,A,B les évènements respectifs \og la médaille est une médaille individuelle \fg , \og la médaille est une médaille par équipe\fg , \og la médaille est en or\fg , \og la médaille est en argent\fg  et \og la médaille est en bronze \fg .
\begin{questions}
\item $P(O)=$\resetchoix\Par
\begin{tabular}{lll}
\choix $0,25$ & \choix $0,157$ &\choix $0,625$
\end{tabular}
\item $P(\overline{I})=$\resetchoix\Par
\begin{tabular}{lll}
\choix $0,625$ & \choix $0,375$ &\choix $0,094 $
\end{tabular}
\item $P(I \cap A )=$\resetchoix\Par
\begin{tabular}{lll}
\choix $0,45$ & \choix $0,281$ &\choix $0,692  $
\end{tabular}
\item La probabilité que la médaille soit en bronze sachant que c'est une médaille individuelle est notée :\resetchoix\Par
\begin{tabular}{lll}
\choix $p_I(B)$ & \choix $P(I\cap B)$ &\choix $p_B(I)  $
\end{tabular}
\item $p_A(\overline{I})=$\resetchoix\Par
\begin{tabular}{lll}
\choix $0,45$ & \choix $0,125$ &\choix $0,308$
\end{tabular}
\item La probabilité que la médaille soit une médaille en or par équipe est notée : \resetchoix\Par
\begin{tabular}{lll}
\choix $P(O \cap \overline{I})$ & \choix $p_O(\overline{I})$ &\choix $p_{\overline{I}}(O)$
\end{tabular}
\item La probabilité que la médaille choisie ne soit pas une médaille en or est égale à : \resetchoix\Par
\begin{tabular}{lll}
\choix $0,25$ & \choix $P(A)$ &\choix $0,75$
\end{tabular}
\item La probabilité que la médaille choisie soit une médaille par équipe sachant qu'elle est en bronze est égale à : \resetchoix\Par
\begin{tabular}{lll}
\choix $0,156$ & \choix $p_B(E)$ &\choix $0,455$
\end{tabular}
\end{tabular}


 
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  Réponses \choix[a]. $P(0)=\dfrac{16}{64}= \dfrac{1}{4}=0,25$
\item Réponse \choix[b]. $P(\overline{I})=\dfrac{24}{64}=\dfrac{3}{8}=0,375$.
\item Réponse \choix[b]. $P(I \cap A )=\dfrac{18}{64}=\dfrac{9}{32}\approx 0,281$
\item Réponse \choix[a].
\item Réponse \choix[c]. $p_A(\overline{I})=\dfrac{8}{26}=\dfrac{4}{13} \approx 0,308$.
\item Réponse \choix[a].
\item Réponse \choix[c]. $P(\overline{O})=1-P(O)=1-0,25=0,75$
\item Réponse \choix[b] et \choix[c]. $p_B(E)=\dfrac{10}{22} \approx 0,454$

\end{questions}
\end{corrige}

% Utiliser \sectionnn pour séparer éventuellement les exercices en parties distinctes si besoin 

\sectionnn{Calculer des fréquences à partir d'un tableau}

%%%
% 2026

\begin{exo}{Calculer des fréquences}{Lycée Renoir, Cagnes-sur-Mer}{1}{15} % 1 = nombre d'étoiles ; 5 = temps en minutes

% si une image doit être insérée, précéder le nom de "000_" car elle va être renommée à la fin de la mise en page avec le numéro de page où elle apparaît à l'aide d'un script Python
% Mettre les images dans le dossier "0950XXXXX_IMAGES"
Une association sportive de 360 adhérents propose trois sports : volley, boxe française et vélo. Chaque adhérent est inscrit à un seul sport parmi les trois. L'association compte 160 adhérents adultes, les autres étant juniors. On sait  aussi que 25 \% des adhérents sont inscrits au volley et 40 \% à la boxe française.  De plus, 50 juniors sont inscrits en volley et 60 adultes sont inscrits en vélo. 

\begin{questions}
\item Construire le tableau croisé d'effectifs correspondant en différenciant les caractéristiques Juniors/Adultes d'une part et Volley/Boxe française/Vélo d'autre part.
\item Calculer la fréquence marginale des adhérents adultes. 
\item Calculer la fréquence marginale des adhérents inscrits au vélo. 
\item Calculer la fréquence conditionnelle des adhérents juniors parmi ceux inscrits à la boxe. 
\item Calculer la fréquence conditionnelle des adhérents inscrits au volley parmi les adultes. 
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Il y a $360-160=200$ adhérents Juniors. $0,25 \times 360 =90$ adhérents pratiquent le volley et $0,4 \times 360 =144$ pratiquent la boxe française donc $360-90-144=126$ adhérents pratiquent le vélo. $90-50=40$ adultes sont inscrits en volley et $126-60=66$ juniors sont inscrits en vélo. Il y a donc $200-66-50=84$ juniors et $160-40-60=60$ adultes inscrits en Boxe.
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{TabularColor}}Zc|Zc|Zc|Zc|Zc|}
\hline
\tabulartitle  & Volley & Boxe & Vélo& Total \\\hline
Juniors & 50& 84 & 66& 200 \\ \hline
Adultes & 40& 60& 60& 160 \\ \hline
Total & 90 & 144 & 126& 360 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item La fréquence marginale des adhérents adultes est $\dfrac{160}{360}=\dfrac{4}{9} \approx 0,44$
\item La fréquence marginale des adhérents inscrits au vélo est $\dfrac{126}{360}=\dfrac{7}{20} =0,35$.
\item La fréquence conditionnelle des adhérents juniors parmi ceux inscrits à la boxe est $f_B(J)=\dfrac{84}{144}=\dfrac{7}{12} \approx 0,58$.
\item La fréquence conditionnelle des adhérents inscrits au volley parmi les adultes est $f_A(V)=\dfrac{40}{160}=\dfrac{1}{4}=0,25$.   
\end{questions}

\end{corrige}

\sectionnn{Calculer des probabilités à partir d'un tableau}
% 2026

\begin{exo}{Calculer des probabilités}{Lycée La Merci, Montpellier}{1}{15} % 1 = nombre d'étoiles ; 5 = temps en minutes
Une entreprise fabrique des chaudières de deux types :
\begin{itemize}
\item des chaudières dites \og à cheminée \fg.
\item des chaudières dites \og à ventouse \fg.
\end{itemize}
L'entreprise a fabriqué en un mois 900 chaudières à cheminée et 600 chaudières à ventouse. Dans ce lot, 1\% des chaudières à cheminée sont défectueuses et 5 \% des chaudières à ventouse sont défectueuses.
On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois. Toutes les chaudières ont la même probabilité d'être prélevées.
On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item C : \og La chaudière est à cheminée \fg ;
\item V : \og La chaudière est à ventouse \fg ;
\item D : \og La chaudière présente un défaut \fg.
\end{itemize}
\begin{questions}
\item Construire le tableau croisé d'effectifs correspondant en différenciant les caractéristiques Cheminée/Ventouse d'une part et Défaut/Sans défaut d'autre part.
\item Déterminer $P(C)$ et $P(V)$.
\item Calculer $P(C \cap D)$ et $P(V \cap D)$.
\item \begin{questions}
\item La probabilité qu'une chaudière à ventouse présente un défaut.
\item La probabilité qu'une chaudière à cheminée présente un défaut.
\end{questions}
\item Calculer $P(D)$ et $P(\overline{D})$.
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Dans un tableau on peut calculer directement les probabilités $p_A(B)$.
\[p_A(B)=\dfrac{\text{nombre d'issues dans } A\cap B}{\text{nombre d'issues dans } A} \]
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{TabularColor}}Zc|Zc|Zc|Zc|}
\hline
\tabulartitle Nombres d'issues dans  & $A$ & $\overline{A}$ &  Total \\\hline
$B$ & $A \cap B$& $\overline{A} \cap B$ & $B$ \\ \hline
$\overline{B}$ & $ A \cap \overline{B}$& $ \overline{A} \cap \overline{B}$& $\overline{B}$ \\ \hline
Total & $A$ & $\overline{A}$ &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{methode}
\begin{questions}
\item \begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{TabularColor}}Zc|Zc|Zc|Zc|}
\hline
\tabulartitle  & Défaut & Sans défaut & Total \\\hline
Cheminée & 9& 891 & 900 \\ \hline
Ventouse & 30& 570& 600\\ \hline
Total & 39 & 1461 & 1500 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\item $P(C)=\dfrac{900}{1500}=\dfrac{3}{5}=0,6$ et $P(V)=\dfrac{600}{1500}=\dfrac{2}{5}=0,4$
\item $P(C \cap D)=\dfrac{9}{1500}=\dfrac{3}{500}=0,006$ et $P(V \cap D)=\dfrac{30}{1500}=\dfrac{1}{50}=0,02$
\item \begin{questions}
\item $p_V(D)=\dfrac{30}{600}=\dfrac{1}{20}=0,05$ (on pouvait aussi utiliser l'information de l'énoncé).
\item $p_C(D)=\dfrac{9}{900}=\dfrac{1}{100}=0,01$ (idem).
\end{questions}
\item $P(D)=P(D \cap V)+ P(D \cap C)=0,02 +0,006=0,026$ et $P(\overline{D})=1-P(D)=1-0,026=0,974$.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026
\begin{exo}{Calculer des probabilités}{Lycée Louis Vincent, Metz}{2}{15}

Dans une classe de 25 élèves, 15 s'intéressent à la musique, 8 s'intéressent à la danse et 3 s'intéressent à la musique et à la danse.
\begin{questions}
\item Construire le tableau croisé d'effectifs correspondant.
\item On note respectivement $M$ et $D$ les évènements \og l'élève s'intéresse à la musique \fg et \og l'élève s'intéresse à la danse \fg.
Que signifient les évènements suivants: $\overline{M}$, $M \cap D$, $M \cap \overline{D}$.
\item On choisit un élève au hasard. Calculer $P(\overline{M} \cap \overline{D})$.
\item On choisit un élève au hasard parmi ceux qui s'intéressent à la musique. Quelle est la probabilité que cet élève s'intéresse à la danse ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}

\begin{questions}
\item \begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\tabulartitle & $M$ & $\overline{M}$ & Total \\\hline
$D$  & 3& 5 & 8 \\ \hline
$\overline{D}$ & 12& 5& 17\\ \hline
Total & 15 & 10 & 25 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $\overline{M}$ est l'évènement \og l'élève ne s'intéresse pas à la musique \fg , $M \cap D$ est l'évènement \og l'élève s'intéresse à la musique et à la danse \fg , $M \cap \overline{D}$ est l'évènement \og l'élève s'intéresse à la musique mais pas à la danse \fg .
\item On choisit un élève au hasard.On est donc en situation d'équiprobabilité. \[P(\overline{M} \cap \overline{D})=\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}=0,2 \]
\item Il s'agit d'une probabilité conditionnelle. La probabilité que cet élève s'intéresse à la danse sachant qu'il s'intéresse à la musique est :
\[p_M(D)=\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}=0,2 \]
\end{questions}
\end{corrige}



\sectionnn{Calculer des probabilités à l'aide d'un arbre}

% 2026

\begin{exo}{Interpréter un arbre}{Lycée Charlemagne, Thionville}{1}{10} % 1 = nombre d'étoiles ; 5 = temps en minutes
On considère une expérience aléatoire et deux évènements $A$ et$B$.
\begin{questions}
\item Compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
\begin{center}
\psset{levelsep=3cm, nodesepB=3pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R, nodesepA=0pt]{\TR{}}
{
    % Premier embranchement
    \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$\frac{1}{3}$}}
    {
        \TR{$B$}\naput{$\frac{2}{5}$}
        \TR{$\overline{B}$}\nbput{$ $}
    }
    % Second embranchement
    \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$ $}}
    {
        \TR{$B$}\naput{$ $}
        \TR{$\overline{B}$}\nbput{$\frac{3}{4}$}
    }
}
\end{center}
\item Calculer les probabilités suivantes sous forme d'une fraction irréductible.
\begin{questions}
\item $P( A \cap B)$
\item $P(\overline{A} \cap B)$
\item $P(A \cap \overline{B})$
\item $P(\overline{A} \cap \overline{B})$
\end{questions}

\end{questions}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{center}
\psset{levelsep=3cm, nodesepB=3pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R, nodesepA=0pt]{\TR{}}
{
    % Premier embranchement
    \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$\frac{1}{3}$}}
    {
        \TR{$B$}\naput{$\frac{2}{5}$}
        \TR{$\overline{B}$}\nbput{$\frac{3}{5}$}
    }
    % Second embranchement
    \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$\frac{2}{3}$}}
    {
        \TR{$B$}\naput{$\frac{1}{4}$}
        \TR{$\overline{B}$}\nbput{$\frac{3}{4}$}
    }
}
\end{center}
\item \begin{questions}
\item $P( A \cap B)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{15}$
\item $P(\overline{A} \cap B)=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{6}$
\item $P(A \cap \overline{B})=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{5}$
\item $P(\overline{A} \cap \overline{B})=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}$
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026
\begin{exo}{Calculer des probabilités}{Lycée Renoir, Cagnes-sur-Mer}{1}{15} % 1 = nombre d'étoiles ; 5 = temps en minutes

Un laboratoire pharmaceutique met au point un test pour dépister une maladie. Une étude sur un échantillon de personnes montre que :
\begin{itemize}
\item Le test est positif dans 4\% des cas.
\item 7\% des personnes ayant un test positif ne sont en fait pas malades (faux positifs).
\item 93,12\% des personnes testées ont un test négatif et ne sont pas malades.
\end{itemize}

On choisit une personne au hasard et on considère les évènements T :\og le test est positif \fg et M : \og la personne est malade \fg 
\begin{questions}
\item Traduire les informations de l'énoncé en termes de probabilités.
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Calculer la probabilité que la personne ne soit pas malade sachant que son test est négatif.
\item En déduire la probabilité que la personne soit malade sachant que son test est négatif (faux négatif).
\item Dans quels cas le test commet-il une erreur? 
\item Calculer la probabilité que le test commette une erreur.
\end{questions}

\end{exo}
 

\begin{corrige}

\begin{methode}
\begin{itemize}
\item Pour étudier de telles situations on les représente à l'aide d'un arbre pondéré.
\item On reporte sur les branches les probabilités connues puis on complète par les probabilités sur les autres branches.
\end{itemize}
\end{methode}
\begin{questions}
\item D'après les informations de l'énonce $P(T)=0,04$,$p_T(\overline{M})=0,07$ et $P(\overline{T} \cap \overline{M})=0,9312$.
\item
\begin{center}
{\bigskip
\psset{levelsep=3cm,nodesepB=3pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$T$}\naput{$0,04$}}
	                        {
	                        \TR{$M$}\naput{$0,93$}
			                \TR{$\overline{M}$}\nbput{$0,07$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{T}$}\nbput{$0,96 $}}
	                        {
	                        \TR{$M$}\naput{$ $}
			                \TR{$\overline{M}$}\nbput{$ $}
	                        }
      }
}
\bigskip
\end{center}
\item $p_{\overline{T}}(\overline{M})=\dfrac{P(\overline{T} \cap \overline{M})}{P(\overline{T})}=\dfrac{0,9312}{0,96}=0,97$.
\item $p_{\overline{T}}(M)=1-p_{\overline{T}}(\overline{M})=1-0,97=0,03$.
\item Le test commet une erreur lorsqu'il est positif et que la personne n'est pas malade ou lorsque le test est négatif et la personne est malade.
\[p=P(T \cap \overline{M})+P(\overline{T} \cap M)= 0,04 \times 0,07 + 0,96 \times 0,03=0,0316 \] 
\end{questions}

\end{corrige}


\sectionnn{Étudier l'indépendance de deux évènements}

% 2026
\begin{exo}{Indépendance de deux évènements}{Lycée La Source, Meudon}{2}{15}
\begin{questions}
\item On considère deux évènements indépendants $A$ et $B$ tels que $P(A) = 0,75$ et $P(A \cap B) = 0,25$. Calculer $P(B)$.
\item On considère deux évènements indépendants $C$ et $D$  tels que $P(C \cup D)= 0,4037$ et $P(C) = 0,11$. Calculer $P(D)$. 
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $A$ et $B$ sont indépendants donc $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ donc $P(B)= \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}= \dfrac{0,25}{0,75}=\dfrac{1}{3}$.
\item $P(C \cup D ) = P(C)+P(D)-P(C \cap D)= P(C)+P(D)-P(C) \times P(D)$ car $C$ et $D$ sont indépendants; soit $0,4037= 0,11 +P(D)-0,11 \times P(D)$ soit $0,4037-0,11=0,89 \times P(D)$. Ainsi $P(D)=\dfrac{0,2937}{0,89}=0,33$
\end{questions}
\end{corrige}

%2026
\begin{exo}{Évènements indépendants}{Lycée St Exupéry, Créteil}{1}{5}
Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : cinq boules noires numérotées 1; 1; 3; 4; 4 et cinq boules rouges numérotées 1; 2; 3; 4; 5.
On prélève au hasard une boule dans cette urne et on note :
\begin{itemize}
\item $N$ l'évènement : \og La boule est noire \fg ;
\item $I$ l'événement : \og La boule porte un numéro impair \fg.
\end{itemize}
Les évènements $N$ et $I$ sont-ils indépendants ?
\end{exo}

\begin{corrige}
$P(N)=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$ car il y a 5 boules noires parmi les 10 boules.
$p_I(N)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ car il y a 3 boules noires parmi les 6 boules portant un numéro impair. Ainsi $P(N)=p_I(N)$, les évènements $N$ et $I$ sont donc indépendants.

\end{corrige}


 %2026
\begin{exo}{Indépendance de deux évènements}{Lycée La Source, Meudon}{1}{15} % 1 = nombre d'étoiles ; 5 = temps en minutes
 Le cuisinier d'un centre de vacances a confectionné des beignets pour le goûter : 
\begin{itemize}
\item 30 \% des beignets sont à l'ananas, les autres sont aux pommes ;
\item 35 \% des beignets à l'ananas sont aromatisés à la cannelle, ainsi que 45\% des beignets aux pommes.
\end{itemize}
On choisit un beignet au hasard et on définit les événements
\begin{itemize} 
\item $A$ : \og Le beignet choisi est à l'ananas \fg
\item $C$ : \og Le beignet choisi est aromatisé à la cannelle \fg.
\end{itemize}
\begin{questions}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Les événements $A$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.  
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{center}
{\bigskip
\psset{levelsep=3cm,nodesepB=3pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,3$}}
	                        {
	                        \TR{$C$}\naput{$0,35$}
			                \TR{$\overline{C}$}\nbput{$0,65$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$0,7$}}
	                        {
	                        \TR{$C$}\naput{$0,45$}
			                \TR{$\overline{C}$}\nbput{$0,55$}
	                        }
      }
}
\bigskip
\end{center}
\item $p_A(C)=0,35$ d'après l'énoncé.
Or $P(C)=P(A \cap C)+ P(\overline{A} \cap C ) =0,3 \times 0,35 + 0,7 \times 0,45=0,42$
$p_A(C) \neq P(C)$ donc les évènements $A$ et $C$ ne sont pas indépendants.
\end{questions}
\end{corrige}

%2026
\begin{exo}{Indépendance de deux évènements}{Lycée Lumière, Luxeuil-les-Bains}{1}{5}
Une étude réalisée sur les étudiants d'une université a permis d'établir que 70\% des étudiants possèdent un ordinateur et que, parmi ceux-ci, 40\% possèdent une automobile. On sait aussi que 55\% des étudiants de l'université ne possèdent pas d'automobile. On choisit au hasard un étudiant de cette université et on note $O$ l'évènement \og l'étudiant possède un ordinateur \fg et A l'évènement \og l'étudiant possède une automobile \fg. Les événements $O$ et $A$ sont-ils indépendants?
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
Déterminer si deux évènements $O$ et $A$ sont indépendants c'est, par exemple, déterminer si $p_O(A)\neq P(A)$. Il faut donc calculer ces deux probabilités.
\end{methode}
D'après l'énoncé $p_O(A)=0,4$ et $P(\overline{A})=0,55$ donc $P(A)=1-P(\overline{A})=0,45$. Ainsi $p_O(A)\neq P(A)$ donc les événements $O$ et $A$ ne sont pas indépendants.

\end{corrige}

\sectionnn{Modéliser une succession d'évènements indépendants}

%2026
\begin{exo}{Successions d'évènements indépendants}{Lycée Doisneau, Corbeil-Essone}{3}{30}

Une joueuse de basket réussit un panier à trois points avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{3}$.
Cette joueuse effectue trois tirs successifs à trois points et on suppose que les tirs sont indépendants les uns des autres.

On note :
\begin{itemize}
\item $R_1$ l'évènement : « La joueuse réussit son premier tir » ;
\item $R_2$ l'évènement : « La joueuse réussit le deuxième tir » ;
\item $R_3$ l'évènement : « La joueuse réussit le troisième tir ».
\end{itemize}
Dans cet exercice, les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.
\begin{questions}
\item Expliquer pourquoi cette expérience est constituée de trois épreuves successives indépendantes. Que peut-on en déduire pour les probabilités des évènements $R_1$, $R_2$ et 
$R_3$?
\item Construire un arbre pondéré représentant cette situation.
\item \begin{questions}
\item Calculer la probabilité que la joueuse réussisse ses trois tirs.
\item En déduire la probabilité qu'elle rate au moins un tir.
\end{questions}
\item Calculer la probabilité qu'elle réussisse exactement un tir.
\end{questions}

\begin{corrige}
\begin{methode}
\begin{itemize}
\item Les épreuves sont \textbf{indépendantes} : les probabilités sur les branches restent identiques d'une épreuve à l'autre.
\item La probabilité d'une issue (ici $R_1,\oveline{R_2},\overline{R_3}$) est égale au produit des probabilités rencontrées sur le chemin qui mène à cette issue.
\end{itemize}
\end{methode}
\begin{questions}
\item On suppose que les tirs sont indépendants les uns des autres, donc cette expérience est constituée de trois épreuves successives indépendantes. On en déduit que :  $P(R_1)=P(R_2)=P(R_3)$

\item  \begin{center}
{\bigskip
\psset{levelsep=1.5cm,nodesepB=2pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree{\TR{$R_1$}\taput{$\frac{1}{3}$}}{
        \pstree{\TR{$R_2$}\taput{$\frac{1}{3}$}}{
            \TR{$R_3$}\taput{$\frac{1}{3}$}
            \TR{$\overline{R_3}$}\tbput{$\frac{2}{3}$}
        }
        \pstree{\TR{$\overline{R_2}$}\tbput{$\frac{2}{3}$}}{
            \TR{$R_3$}\taput{$\frac{1}{3}$}
            \TR{$\overline{R_3}$}\tbput{$\frac{2}{3}$}
        }
    }
    \pstree{\TR{$\overline{R_1}$}\tbput{$\frac{2}{3}$}}{
        \pstree{\TR{$R_2$}\taput{$\frac{1}{3}$}}{
            \TR{$R_3$}\taput{$\frac{1}{3}$}
            \TR{$\overline{R_3}$}\tbput{$\frac{2}{3}$}
        }
        \pstree{\TR{$\overline{R_2}$}\tbput{$\frac{2}{3}$}}{
            \TR{$R_3$}\taput{$\frac{1}{3}$}
            \TR{$\overline{R_3}$}\tbput{$\frac{2}{3}$}
        }
    }
}
\bigskip
\end{center}
\item \begin{questions}
\item La probabilité que la joueuse réussisse ses trois tirs correspond à la probabilité du chemin passant par $R_1$, $R_2$ et $R_3$. Elle est donc égale à  $ \left(\dfrac{1}{3} \right)^3$ soit $\dfrac{1}{27}$.
\item L'évènement  \og La joueuse rate au moins un tir \fg est l'évènement contraire de l'évènement \og La joueuse réussit ses trois tirs \fg soit $1-\dfrac{1}{27}=\dfrac{26}{27}$.
 \end{questions}
 \item l y a trois chemins qui mènent à l'événement \og La joueuse réussit exactement un tir \fg : celui qui passe par $R_1$, $\oveline{R_2}$ et $\overline{R_3}$,celui qui passe par  $\overline{R_1}$, $R_2$ et $\overline{R_3}$ et celui qui passe par $\overline{R_1}$, $\overline{R_2}$ et $R_3$. Sa probabilité est donc égale à $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} +\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{12}{27}=\dfrac{4}{9}$.
 La probabilité que la joueuse réussisse exactement un tir est égale à $\dfrac{4}{9}$.  
 
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Vers les maths complémentaires }

%2026
\begin{exo}{Pour aller plus loin}{Lycée Louis Vincent, Metz}{3}{30}
Un jeu consiste à lancer de la main gauche, une balle dans un seau. Parmi
 l'ensemble des joueurs, $\dfrac{5}{6}$ sont droitiers et $\dfrac{1}{6}$ sont
 gauchers.
 
Pour un joueur droitier, la probabilité de mettre la balle dans le
 seau est $\dfrac{1}{4}$.
 
Pour un joueur gaucher, cette probabilité est $\dfrac{1}{2}$.

\begin{questions} 
\item On choisit au hasard un individu dans cette population. On note :
\begin{itemize}
\item G l'évènement \og l'individu choisi est gaucher \fg{},
\item S l'évènement \og l'individu met la balle dans le seau \fg{}.
\end{itemize}
	\begin{questions} 
	\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement G ~$\cap$~ S.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement S.
		\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit droitière,
 sachant qu'elle a mis la balle dans le seau. 
	\end{questions}
\item Dans cette question on a sélectionné Pierre un joueur droitier. Il lance deux balles l'une après l'autre ; on suppose les deux lancers indépendants.

	\begin{questions} 
		\item Modéliser la situation par un arbre pondéré.
		\item Déterminer la probabilité que à l'issue des deux lancers il y ait exactement une balle dans le seau.
	\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
\begin{itemize}
\item La probabilité de l'intersection $ G\cap S$ se calcule en multipliant les probabilités du chemin associé à $ G\cap S$.
\item La probabilité de $S$ se calcule en additionnant les probabilités de tous les chemins associés à $S$.
\end{itemize}
\end{methode}
\begin{questions}
\item \begin{questions}
 \item \begin{center}
\psset{levelsep=3cm, nodesepB=3pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R, nodesepA=0pt]
       {\TR{}} % Racine
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$G$}\naput{$\frac{1}{6}$}}
            {
            \TR{$S$}\naput{$\frac{1}{2}$}
            \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\frac{1}{2}$}
            }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{G}$}\nbput{$\frac{5}{6}$}}
            {
            \TR{$S$}\naput{$\frac{1}{4}$}
            \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\frac{3}{4}$}
            }
       }
\end{center}
\item $P(G \cap S)=\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}$
\item $P(S)= P(G \cap S)+P(\overline{G} \cap S)=\dfrac{1}{12}+\dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{24}$
\item $p_S(\overline{G})=\dfrac{P(S \cap \overline{G})}{P(S)}=\dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{7}{24}}=\dfrac{2}{7}$
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item
\begin{center}
\psset{levelsep=3cm, nodesepB=3pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R, nodesepA=0pt]{\TR{}}
{
    % Premier embranchement
    \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$S$}\naput{$\frac{1}{4}$}}
    {
        \TR{$S$}\naput{$\frac{1}{4}$}
        \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\frac{3}{4}$}
    }
    % Second embranchement
    \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{S}$}\nbput{$\frac{3}{4}$}}
    {
        \TR{$S$}\naput{$\frac{1}{4}$}
        \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\frac{3}{4}$}
    }
}
\end{center}

\item $p=P(S;\overline{S})+P(\overline{S};S)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4} +\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{8}$
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
