\begin{questions}
\item On obtient : $u_1 = 22$ et $u_2 = 62$.

\item $A =\begin{pmatrix}5&-6\\1&0\end{pmatrix}$.

Le résultat est assez évident, mais par rigueur on peut faire une récurrence.

\begin{itemize}
\item La propriété est évidemment vraie au rang 0.
\item Supposons la propriété vraie au rang $k$, c'est-à-dire $C_k = A^kC_0$.

On a $C_{k+1} = AC_k$, donc $C_{k+1}=A\times A^kC_0 = A^{k+1}C_0$.
\end{itemize}

On a montré que la propriété est vraie au rang 0, et que, si elle est vraie à un rang $k$ quelconque, elle est aussi vraie au rang $k + 1$, elle est donc vraie pour tout $n$.

\item
\begin{questions}
\item $QP=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2$. Cela signifie que $Q$ est l'inverse de $P$.

\item
\begin{itemize}
\item Initialisation : $A^1 = PDQ$ : c'est ce qu'on admet d'après l'énoncé donc la propriété est vraie au rang 1.
\item Hérédité : supposons la propriété vraie à un rang $k$ supérieur ou égal à 1, c'est-à-dire : $A^k = PD^kQ$.
\begin{align*}
A^{k+1} & = A \times A^k\\
& = PDQ \times PD^kQ\\
& = PD\times(QP)\times D^kQ\\
& = P\times D\times D^k \times Q\quad\text{car }QP=I_2\\
& = P\times D^{k+1}\times Q
\end{align*}
\end{itemize}

Donc pour tout $n$, $A^n = PD^nQ$.
\end{questions}

\item D'après ce qui précède on a :
\[
\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix}u_1\\u_0\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}
8\\3\end{pmatrix}.
\]

De plus, $D^n =\begin{pmatrix}2^n & 0\\0 & 3^n\end{pmatrix}$ (si vous n'êtes pas convaincus, cela se démontre aisément par récurrence).

On peut en déduire $A^n$, dont seuls deux termes nous intéressent. On en déduit donc en effectuant partiellement le produit matriciel :
\[
u_n=8(-2^n+3^n)+3(3\times2^n-2\times3n)=2^n+2\times3^n.
\]
2 et 3 étant supérieurs à 1, $\lim\limits_{n\to+\infty}2^n=\lim\limits_{n\to+\infty}3^n=+\infty$.

Par conséquent, la suite diverge vers $+\infty$.
\end{questions}
