\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$, on a \ $u_{n+1}-u_n=u^2_n+1>0$.

Donc $(u_n)$ est strictement croissante.

\item  Pour tout entier $n\geqslant 0$:
\[
\left\{
\begin{array}{rcccc}
u_{n}-u_{n-1} & = & u^2_{n-1}+1 & \geqslant & 1 \\[8pt]
u_{n-1}-u_{n-2} & = & u^2_{n-2}+1 & \geqslant & 1 \\
 &\vdots &   &\vdots  &  \\
u_2-u_1 & = & u_1^2+1 & \geqslant & 1\\[8pt]
u_1-u_0 & = & u_0^2+1 & \geqslant & 1
\end{array}
\right.
\]
\Par
En sommant membre à membre et après simplification, il vient :
\[
u_{n}-u_{0}\geqslant n,\ \text{soit : }u_n\geqslant n+1.
\]

\item  $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(n+1\right)=+\infty$ donc, d'après le théorème de comparaison,
\[\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty.\]
\end{questions}
