\begin{questions}
\item
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{n\to+\infty}(2n+1)=\lim\limits_{n\to+\infty}(n+2)=+\infty$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n$ mène à une forme indéterminée du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg.

\begin{methode}
Pour lever une indétermination du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg, on factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré respectif.
\end{methode}

On modifie donc l'écriture de $u_n$ pour tout $n\in\N^*$:
\begin{align*}
u_n & = \dfrac{\cancel{n}\left(2+\tfrac{1}{n}\right)}{\cancel{n}\left(1+\tfrac{2}{n} \right)}\\
& =  \dfrac{2+\tfrac{1}{n}}{1+\tfrac{2}{n}}.
\end{align*}
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(2+\dfrac{1}{n}\right)=2$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{2}{n}\right)=1$ donc:
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=2.
\]

\item $\forall n\in\N^*,\ v_n=n^2\left(1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{5}{n^2}\right)$.

Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3}{n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{5}{n^2}=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}n^2=+\infty$ donc:
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=+\infty.
\]
\end{itemize}

\item
\begin{itemize}
\item Pour tout $n\in\N^*$, on a :
\[
\dfrac{6n+1}{2n+3}=\dfrac{6n\left(1+\frac{1}{6n}\right)}{2n\left(1+\frac{3}{2n}\right)}=3\left(\dfrac{1+\frac{1}{6n}}{1+\frac{3}{2n}}\right).
\]

Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{6n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3}{2n}=0$ donc:
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{6n+1}{2n+3}=3.
\]
Par conséquent,
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} a_n=\sqrt{3}.
\]

\item On a, pour tout $n\in\N$ :
\[
b_n=\dfrac{n\sqrt{n}+2}{2n}=\dfrac{n\sqrt{n}}{2n}+\dfrac{2}{2n}=\dfrac{\sqrt{n}}{2}+\dfrac{1}{n}.
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\sqrt{n}}{2}=+\infty$ donc, par somme,
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} b_n=+\infty.
\]

\item On peut écrire que pour tout entier naturel $n$,
\[
-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1
\]
donc
\[
n^3-n^2\leqslant c_n \leqslant n^3+n^2.
\]
En particulier,
\[
c_n\geqslant n^2(n-1).
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty} n^2(n-1)=+\infty$ donc d'après le théorème de comparaison,
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} c_n=+\infty.
\]

\item Pour tout entier $n\geqslant1$,
\[
n-1\leqslant n+(-1)^n \leqslant n+1\quad\text{et}\quad 2n-1\leqslant 2n+(-1)^n\leqslant 2n+1\;,
\] donc :
\[
\dfrac{1}{2n+1}\leqslant \dfrac{1}{2n+(-1)^n}\leqslant\dfrac{1}{2n-1}\text{ (par passage à l'inverse)}\;,
\]
d'où :
\[
\dfrac{n-1}{2n+1}\leqslant d_n\leqslant \dfrac{n+1}{2n-1}\text{ (par produit de réels positifs)}.
\]
De plus, pour tout entier $n\geqslant1$, on a :
\[
\dfrac{n-1}{2n+1}=\dfrac{n\left(1-\frac{1}{n}\right)}{2n\left(1+\frac{1}{2n}\right)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{2n}}.
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0$ donc:
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)=1\;,\;\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)=1\text{ et }\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n-1}{2n+1}=\dfrac{1}{2}.
\]
De même,
\[
\dfrac{n+1}{2n-1}=\dfrac{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}{2n\left(1-\frac{1}{2n}\right)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{2n}}\;,
\]
ce qui donne, d'une façon analogue, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n+1}{2n-1}=\dfrac{1}{2}$.

Ainsi, d'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty} d_n=\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
\end{questions}
