Nous allons, comme le titre de l'exercice le suggère, faire un \textit{raisonnement par l'absurde} pour démontrer que $(u_n)$ est strictement croissante.
%\begin{methode}
%Un \textit{raisonnement par l'absurde} consiste à supposer que ce que l'on\linebreak souhaite démontrer est faux pour arriver à une contradiction.
%\end{methode}

Supposons donc que $(u_n)$ est décroissante.

Dans ce cas, comme elle est minorée par 0, elle converge (d'après le théorème de convergence des suites monotones). Notons alors $\ell$ sa limite.

Ainsi, comme $u_{n+1}=\sqrt{12+u_n}$, $\ell$ vérifie nécessairement l'équation:
\[
\ell = \sqrt{12+\ell} \iff \ell^2 = 12+\ell \iff \ell^2-\ell-12=0,
\]
dont les solutions sont $-3$ et 4. Ainsi, $(u_n)$ converge vers $-3$ ou vers $4$.

Or, par hypothèse, comme $(u_n)$ est minorée par 0 et décroissante,\linebreak $0 \leqslant u_n \leqslant u_0=3$ donc $\ell\neq-3$ et $\ell\neq 4$. Il y a alors une contradiction.

Ainsi, l'hypothèse selon laquelle $(u_n)$ est décroissante est fausse.

\Par

On en déduit alors que $(u_n)$ est strictement croissante.
