\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$,
\[
v_{n+1}=\big(u_{n+1}\big)^2=2+\big(u_n\big)^2=2+v_n.
\]

La suite $(v_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $r=2$.

\item $v_0=\big(u_0\big)^2=1$. La suite $(v_n)$ étant arithmétique, d'après le cours, pour tout entier naturel $n$,:
\[
v_n=v_0+nr=1+2n.
\]

$v_n=\big(u_n\big)^2$ donc $u_n=\sqrt{v_n}$ (en effet, $u_n\geqslant0$ puisque les termes sont définis par une racine carrée dans la relation de récurrence, et $u_0>0$).

Par conséquent, $u_n=\sqrt{1+2n}$ pour tout entier naturel $n$.
\end{questions}
