\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-.5){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch01exoSuitesImbriquees}}}
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\begin{questions}
\item Le nombre de cellules de type A le $(n + 1)$-ième jour est : 75\,\% des cellules A du jour précédent (car 25\,\% de cellules A ont muté vers B) auquel s'ajoutent les 25\,\% de cellules B qui ont muté vers A. On obtient:
    \begin{equation}\label{eq1}
      a_{n + 1} = \dfrac{3}{4}a_n + \dfrac{1}{4}b_n.
    \end{equation}
Le raisonnement est similaire pour les cellules B :
    \begin{equation}\label{eq2}
      b_{n + 1} = \dfrac{3}{4} b_n + \dfrac{1}{4} a_n = \dfrac{1}{4} a_n + \dfrac{3}{4} b_n.
    \end{equation}

    \item Sachant que $a_n + b_n = 300$, on a $b_n = 300-a_n$. En substituant dans l'équation \ref{eq1}, on obtient :
    \begin{align*}
            a_{n + 1} & = \dfrac{3}{4}a_n + \dfrac{1}{4}(300 - a_n) \\[8pt]
            & = \dfrac{3}{4}a_n -\dfrac{1}{4}a_n + \dfrac{1}{4}\times 300 \\[8pt]
            & = \dfrac{1}{2}a_n + \dfrac{300}{4} \\[8pt]
            & = 0,5\times a_n + 75.
    \end{align*}

\item
    \begin{questions}
    \item On cherche une relation de récurrence pour $(c_n )$, sachant que\\
    $c_n = 150 - a_n$ et donc $a_n = 150- c_n$ :
        \begin{align*}
                c_{n + 1} & = 150 - a_{n + 1} = 150 - (0,5\times a_n + 75 ) \\
                & = 75 - 0,5\times a_n = 75 - 0,5(150 - c_n ) \\
                & = 75 - 75 + 0,5\times c_n \\
                & = 0,5\times c_n.
        \end{align*}
    On reconnaît la relation de récurrence d'une suite géométrique de raison $0,5$.

    \item On a $c_0 = 150 -a_0 = 50$, donc $c_n = c_0 \times 0,5^n = 50 \times 0,5^n$.

    Comme $a_n = 150 - c_n$, on en déduit que $a_n = 150 - 50\times 0,5^n$ ($n\in\N$).
    \end{questions}

\item $0 < 0,5 < 1$ donc $0,5^n > 0,5^{n + 1} $. Or,
    \begin{align*}
       0,5^n > 0,5^{n + 1} & \iff -50\times 0,5^n < -50 \times 0,5^{n + 1} \\
      & \iff 150-50\times 0,5^n < 150 -50 \times 0,5^{n + 1} \\
       & \iff a_n < a_{n + 1}.
    \end{align*}
La suite $(a_n)$ est donc croissante.

Un raisonnement analogue montre que la suite $(b_n)$ est décroissante.

\item On sait que $\lim\limits_{n\to + \infty} 0,5^n = 0 $ (car $0<0,5<1$).
On en déduit que :
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} (150 - 50\times 0,5^n) = 150\;,
\]
et de même :
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} \left(150 + 50\times 0,5^n\right) = 150.
\]
À long terme, il y aura 50\,\% de cellules A et 50\,\% de cellules B.
\end{questions}
