\begin{questions}
\item
Soit $n$ un entier non nul.
\par
Posons:
\[
a(x)=x^2
\quad
\text{et}
\quad
b(x)=-\dfrac{1}{n}\cos(nx).
\]
Alors :
\[
a'(x)=2x
\quad
\text{et}
\quad
b'(x)=\sin(nx).
\]
Les fonctions $a$ et $b$ étant dérivables, à dérivées continues sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on peut appliquer le théorème d'intégration par parties :

\[
I_n=\left[ -\dfrac{1}{n}x^2\cos(nx) \right]_0^\frac{\pi}{2} +
\dfrac{2}{n}\int_0^\frac{\pi}{2} x\cos(nx) \dd x.
\]
Posons:
\[
c(x)=x
\quad
\text{et}
\quad
d(x)=\dfrac{1}{n}\sin(nx).
\]
Alors :
\[
c'(x)=1
\quad
\text{et}
\quad
d'(x)=\cos(nx).
\]
Par une seconde intégration par parties :
\[
\int_0^\frac{\pi}{2} x\cos(nx) \dd x=\left[ \dfrac{1}{n}x\sin(nx)
\right]_0^\frac{\pi}{2}  -\dfrac{1}{n}\int_0^\frac{\pi}{2}
\sin(nx) \dd x
\]
d'où:
\[
I_n=-\dfrac{\pi^2}{4n}\cos \left(\dfrac{n\pi}{2}\right)+
\dfrac{\pi}{n^2}\sin\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)+
\dfrac{2}{n^3}\left(\cos\left(n \dfrac{\pi}{2}\right)-1\right).
\]


\item  La formule ci-dessus montre que, pour tout entier $n\geqslant1$:
\[
|I_n|\leqslant \dfrac{\pi^2}{4n}+\dfrac{\pi}{n^2}
+\dfrac{4}{n^3}
\]
et
\[
\lim\limits_{n \to +\infty}
\left(\dfrac{\pi^2}{4n}+\dfrac{\pi}{n^2}+\dfrac{2}{n^2}\right)=0
\quad
\Longrightarrow
\quad
\lim\limits_{n \to+\infty}I_n=0
\]
\end{questions}

\begin{methode}
Comme l'expression dont on cherche la limite comporte des termes en sinus et cosinus dont la valeur change selon les valeurs de $n$, on utilise le théorème de limite par encadrement.\par
On majore la valeur absolue de $I_n$ en utilisant tout d'abord le fait que la valeur absolue d'une somme est inférieure à la somme des valeurs absolues ; les termes en sinus et cosinus sont ensuite eux-mêmes majorés par~1. Il ne reste plus ensuite qu'à prouver que la limite de $\left(\dfrac{\pi^2}{4n}+\dfrac{\pi}{n^2}+\dfrac{2}{n^2}\right)$ est nulle pour pouvoir conclure.
\end{methode}
