\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item La fonction $f_0$ est à valeurs positives sur $[0 ; 1]$, donc $I_0$ correspond à l'aire (exprimée en unités d'aire) du domaine délimité par $\mathcal{C}_0$, l'axe des abscisses, et les deux droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$.
\Par
De la même façon, chaque intégrale $I_n$ est l'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}_n$, l'axe des abscisses, et les deux droites verticales d'équation $x = 0$ et $x = 1$.

\item On conjecture que la suite $(I_n)$ converge vers 0. En effet, plus $n$ grandit, plus $\mathcal{C}_n$ semble se rapprocher de l'axe des abscisses, réduisant ainsi de plus en plus l'aire du domaine entre la courbe et l'axe des abscisses sur $[0;1]$.
\end{questions}

\item $\begin{aligned}[t]
I_0 & = \int_{0}^{1} \nep^{-x} ~\text{d}x\\
        & = \Big[-\nep^{-x}\Big]_0^1\\
        & = \big(-\nep^{-1}\big) - \big(-\nep^{-0}\big)\\
        & = -\nep^{-1} + \nep^{0}\\
        & = 1 - \nep^{-1}.
\end{aligned}$

\item
\begin{questions}
\item Soit $n$ un entier naturel.
\begin{align*}
0 \leqslant x \leqslant 1
& \iff 0\times x^n \leqslant x \times x^n \leqslant 1 \times x^n,\quad \text{ car } x^n \geqslant 0\\
& \iff 0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n.
\end{align*}

On arrive bien à l'inégalité demandée.

\item $\begin{aligned}[t]
\forall n\in\N,\ x\in [0;1] & \iff 0 \leqslant x^{n+1} \nep^{-x} \leqslant x^n \nep^{-x} \text{ car }\nep^{-x}>0\\
& \iff 0 \leqslant f_{n+1}(x) \leqslant f_n(x)\\
& \iff \int_{0}^{1} 0 ~\text{d}x \leqslant \int_{0}^{1} f_{n+1}(x)~\text{d}x \leqslant \int_{0}^{1}f_n(x)~\text{d}x\\
& \iff 0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_n.
\end{aligned}$
\end{questions}

\item\label{question4intobjbac} D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$:
\begin{itemize}
\item $0 \leqslant I_n$, \quad donc la suite $(I_n)$ est minorée par 0;
\item $I_{n+1} \leqslant I_n$, \quad donc la suite $(I_n)$ est décroissante.
\end{itemize}
La suite étant décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente, vers une limite $\ell$ supérieure ou égale à 0.

\item Soit $n$ un entier naturel $n$.

On pose : \quad $\begin{cases}
u(x) = x^{n+1} \\
v(x) = -\nep^{-x}
\end{cases}$\quad et \quad $\begin{cases}
u'(x) = (n+1) x^{n} \\
v'(x) = \nep^{-x}
\end{cases}$
\enlargethispage*{\baselineskip}

Toutes ces fonctions étant continues car dérivables sur $[0;1]$, on a :
\begin{align*}
I_{n+1} & = \int_{0}^{1} f_{n+1}(x) ~\text{d}x = \int_{0}^{1} x^{n+1}\nep^{-x} ~\text{d}x\\
                & = \int_{0}^{1} u(x)\times v'(x) ~\text{d}x\\
                & = \Big[u(x) \times v(x) \Big]_0^1 - \int_{0}^{1} u'(x)\times v(x) ~\text{d}x\quad \text{(intégration par parties)}\\
                &= \Big[x^{n+1} \times \big(-\nep^{-x}\big)\Big]_0^1 - \int_{0}^{1} (n+1)x^{n} \times \big(-\nep^{-x}\big)~\text{d}x        \\
                &=\big(1^{n+1}\times (-\nep^{-1})\big) - \big(0^{n+1}\times (-\nep^{-0})\big) +(n+1)\int_{0}^{1} x^{n} \nep^{-x}~\text{d}x\\
                &=(n+1)I_n - \dfrac{1}{\nep}.
\end{align*}

\item
\begin{questions}
\item Supposons que la limite $\ell$ est supérieure à zéro.

Alors, par limite du produit,
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} (n+1)I_n = +\infty\,,
\]
et, par limite de la somme :
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} (n+1)I_n - \dfrac{1}{\nep}= +\infty\,,
\]
soit:
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} I_{n + 1} =+\infty.
\]
Cela signifie que la suite de terme général $I_{n+1}$ diverge vers $+\infty$.
\Par
Or la suite de terme général $I_{n+1}$ a la même limite que la suite de terme général $I_n$, qui \textit{converge} vers un réel positif $\ell$ (dont on peut dire qu'il est inférieur à $I_0 = 1 - \nep^{-1}$).
\Par
L'unicité de la limite est donc en contradiction avec ces résultats.

\item D'après la question précédente, $\ell \leqslant 0$ (raisonnement par l'absurde).

D'après la question \ref{question4intobjbac}, $\ell$ est un réel positif, donc $\ell = 0$.

La suite $(I_n)$ converge donc vers 0.
\end{questions}

\item Ici, l'appel \texttt{mystère(100)} renvoie une liste (stockée dans la variable \texttt{L}) contenant les valeurs (approchées) des 101 premiers termes de la suite, de $I_0$ à $I_{100}$.

En effet, \text{I} est initialisée (ligne 2) à la valeur $I_0$, puis \text{L} est initialisée (ligne 3) en tant que liste contenant la valeur $I_0$.

Ensuite, on rentre dans un boucle à $\texttt{n} = 100$ répétitions (pour \texttt{i} allant de 0 à 99), et dans chaque exécution, la variable \texttt{I} est mise à jour (ligne 5) en utilisant la relation de récurrence de la suite $(I_n)$, donc passe de la valeur d'un terme à la valeur du terme suivant dans la suite $(I_n)$. Cette nouvelle valeur est ensuite ajoutée à la fin de la liste \texttt{L} (ligne 7).

En sortie de boucle, on a donc appliqué 100 fois la relation de récurrence, donc la variable \texttt{I} contient bien la valeur (approchée de) $I_{0 + 100} = I_{100}$, qui a été la dernière ajoutée à la liste \texttt{L}.

\begin{attention}
Si on exécute le script Python donné dans l'énoncé, les résultats sont faux à partir de $n=18$ puisque les valeurs trouvées deviennent négatives!

Ceci est dû au fait que les calculs se font avec une valeur approchée de $\nep$ et que les erreurs se cumulent assez rapidement.
\end{attention}

\end{questions}
