\begin{questions}
\item \textit{Faux}. Si $u_n =\dfrac{1}{n}$ pour tout $n>0$ alors aucun terme de cette suite n'est nul et $(u_n)$ converge vers 0. Cependant, $(v_n)$ tend vers $-\infty$, donc diverge.

\item \textit{Vrai}. En effet,
\begin{align*}
u_n\geqslant2 & \iff 0<\dfrac{1}{u_n}\leqslant\dfrac{1}{2}\quad\text{par passage à l'inverse}\\
& \iff  0<\dfrac{2}{u_n}\leqslant 1 \quad\text{par produit par 2}\\
& \iff -1 \leqslant -\dfrac{2}{u_n}<0 \text{ en prenant l'opposé des 3 termes}\\
& \iff -1 \leqslant v_n <0.
\end{align*}

\item \textit{Faux}. Reprenons la suite $(u_n)$ définie sur $\N^*$ par $u_n =\dfrac{1}{n}$.

Alors $v_n=-2n$.  $(u_n)$ est décroissante et $(v_n)$ aussi.

\item \textit{Faux}. $(u_n)$ peut être divergente sans tendre vers l'infini; par exemple, si $u_n = (-1)^n$, $(u_n)$ diverge car elle prend alternativement les valeurs 1\linebreak et $-1$, et $(v_n)$ diverge aussi car elle prend alternativement les valeurs 2 et $-2$.

\item \textit{Vrai}. En effet, si $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ alors il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieur à n'importe quel réel positif (par exemple \numprint{1000000}).

\item \textit{Faux}. Si $u_n=\nombre{1000000}+\dfrac{1}{n}$ pour $n>0$ alors $u_n>\nombre{1000000}$; cependant,$\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\nombre{1000000}$.

\item \textit{Faux}. La suite de terme général $u_n=\dfrac{n+1}{n+2_{}}$ est croissante (il suffit de calculer $u_{n+1}-u_n$ qui est clairement positif) et sa limite est 1.

\item \textit{Faux}. La suite de terme général $u_n=1+\dfrac{1}{n}$ est décroissante et minorée par $0$. Cependant, sa limite vaut 1.
\end{questions}
