\begin{questions}
\item \textit{Faux.} En effet, pour de très grandes valeurs de $n$, $\dfrac{2^n+3}{3^n+2}\approx\dfrac{2^n}{3^n}\approx\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ et $0<\dfrac{2}{3}<1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=0$. Ainsi, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2^n+3}{3^n+2}=0$.


\item \textit{Faux.} En effet, pour de très grandes valeurs de $n$, $n > \sqrt{n}$, et on peut alors écrire:$\dfrac{6\sqrt{n}-n}{\sqrt{n}+n} \approx \dfrac{-n}{n} \approx -1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{6\sqrt{n}-n}{\sqrt{n}+n}=-1$.

\item \textit{Faux.} En effet, on peut écrire:
\[
\dfrac{\sin(n)-2n}{n+1} = \dfrac{\sin(n)}{n+1} - \dfrac{2n}{n+1}.
\]
Or,
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\sin(n)}{n+1}=0$ (théorème des gendarmes);
\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{-2n}{n+1}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{-2n}{n}=-2$ (1 est négligeable par rapport à $n$).
\end{itemize}
Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\sin(n)-2n}{n+1}=-2$.
\end{questions}
