Pour tout $n\geqslant1$, on note ${\mathcal P}_n$ la proposition :
\[ u_n=(1+k)\big(1+k^2\big)\big(1+k^3\big)\cdots\big(1+k^{n-1}\big). \]
\begin{itemize}
\item Le membre de gauche de l'égalité est:
\[
u_1=(1+k^0)u_0=2,
\]
et le membre de droite est réduit à:
\[
(1+k^{1-1})=1+1=2.
\]
\Par
Ainsi, la propriété est vraie pour $n=1$.


\item Supposons que la propriété soit vraie pour un entier $p$ non nul arbitrairement fixé.\par
On sait par hypothèse que $u_{p+1}=\big(1+k^p\big)u_p$. On remplace alors $u_p$ dans cette expression par sa valeur. Il vient :
\[ u_{p+1}=\big(1+k^p\big)\big(1+k\big)\big(1+k^2\big)\big(1+k^3\big)\cdots\big(1+k^{p-1}\big). \]
Donc ${\mathcal P}_p \Rightarrow {\mathcal P}_{p+1}$.
\end{itemize}

Par conséquent, pour tout entier $n\geqslant1$, ${\mathcal P}_n$ est vraie.
