Posons:
\[
\mathcal{P}_n \quad:\quad S_n=1-\left(\dfrac{n}{2}+1\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n.
\]
Démontrons par récurrence que cette égalité est vraie pour tout entier naturel $n\geqslant2$.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}: pour $n=2$, $S_2=u_2=\dfrac{2-1}{4}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{9}$.

De plus, $1-\left(\dfrac{n}{2}+1\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=1-\left(\dfrac{2}{2}+1\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=1-\dfrac{8}{9}=\dfrac{1}{9}$.

Ainsi, $\mathcal{P}_2$ est vraie.

\item \textit{Hérédité}: supposons que pour un entier $k$ fixé, $\mathcal{P}_k$ soit vraie, c'est-à-dire que:
\[
S_k =  1 - \left(\dfrac{k}{2}+1\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^k.
\]
C'est notre hypothèse de récurrence (HR).

Démontrons alors que $\mathcal{P}_{k+1}$ l'est aussi, c'est-à-dire que:
\[
S_{k+1}=1-\left(\dfrac{k+1}{2}+1\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k+1}=1-\left(\dfrac{k+3}{2}\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k+1}.
\]
On a:
\begin{align*}
S_{k+1} & = u_2+u_3+\cdots+u_k+u_{k+1}\\
& = S_k + u_{k+1}\\
& = 1 - \left(\dfrac{k}{2}+1\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^k + u_{k+1}\quad\text{d'après (HR)}\\
& = 1 - \left(\dfrac{k}{2}+1\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^k + \underbrace{\dfrac{k}{4}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k+1}}_{u_{k+1}}
\intertext{Nous allons mettre maintenant $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k+1}$ en facteur dans les deux derniers termes:}
& = 1 - \left[\left(\dfrac{k}{2}+1\right)\dfrac{3}{2}-\frac{k}{4} \right]\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k+1}\\
& = 1 - \left( \dfrac{k+3}{2} \right)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k+1}.
\end{align*}
L'hérédité est alors démontrée.
\end{itemize}
Par conséquent, $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n\geqslant2$.
