Posons:

\[
\mathcal{P}_n\quad:\quad 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \dfrac{1}{3}n(4n^2-1).
\]

Démontrons  par récurrence que cette propriété est vraie pour $n\geqslant1$.

\Par

\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}: pour $n=1$, le membre de gauche de l'égalité est réduit à\linebreak $1^2=1$. Celui de droite vaut:
\[
 \dfrac{1}{3}\times1\times(4\times1^2-1)=\dfrac{1}{3}\times3=1.
 \]
Les deux membres sont donc égaux. L'initialisation est alors faite.

\Par

\item \textit{Hérédité}: supposons que pour un entier $k$ fixé, $\mathcal{P}_k$ soit vraie. Ainsi:
\[
1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k-1)^2 = \dfrac{1}{3}k(4k^2-1).
\]
C'est notre hypothèse de récurrence (HR).

On souhaite démontrer alors que $\mathcal{P}_{k+1}$ l'est aussi, donc que:
\[
1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k+1)^2 = \dfrac{1}{3}(k+1)\big( 4(k+1)^2-1 \big)=\dfrac{1}{3}(4k^3+12k^2+11k+3).
\]
On a:
\begin{align*}
1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k+1)^2 & = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k-1)^2+ (2k+1)^2\\[8pt]
& = \dfrac{1}{3}k(4k^2-1) + (2k+1)^2\qquad\text{d'après (HR)}\\[8pt]
& = \dfrac{1}{3}k(2k-1)(2k+1) + (2k+1)^2\\[8pt]
& = \left[ \dfrac{1}{3}k(2k-1) + (2k+1)\right](2k+1)\\[8pt]
& = \dfrac{1}{3}(2k^2+5k+3)(2k+1)\\[8pt]
& = \dfrac{1}{3}(4k^3+12k^2+11k+3).
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}

\Par

Ainsi, $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n\geqslant1$.
