\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch10exoJouerRuiner}}}
\vspace*{-5mm}

Nous sommes en présence d'une loi géométrique tronquée.
\begin{questions}
\item L'arbre est celui d'un schéma de Bernoulli de 10 répétitions, dont on ne garde pas les branches issues d'un succès.
\begin{center}
\includegraphics{370_varind-02}
\end{center}
 \item On note $G$, l'issue de l'épreuve de Bernoulli : \og la carte achetée est gagnante \fg{} et $P$ : \og la carte est perdante \fg. L'oncle achète 4 cartes exactement si les 3 premières ne sont pas gagnantes, et si la dernière est gagnante. Il faut donc calculer \par $P(P,P,P,G)=0,88^3\times 0,12 \approx0,082$.
 \item L'oncle achète 10 cartes si les 9 premières sont perdantes. La dernière carte n'a pas d'importance puisqu'il s'arrêtera de toute façon car il aura dépensé 20 euros.\par
 La probabilité est donc $0,88^9\approx0,316$.
 \item L'oncle ne gagne rien si les 10 cartes achetées sont perdantes. La probabilité de cet événement est $0,88^{10}\approx0,279$.
 \item
 \begin{questions}
 \item  L'oncle dépense $2n$ euros lorsqu'il achète $n$ cartes. Pour tout entier $n$ tel que $1\leqslant n < 10$, il achète $n$ cartes si les $n-1$ premières sont perdantes, donc  on a $P(X=2n)=0,88^{n-1}\times 0,12$.\par
 Par contre $P(X=20)= 0,88^9$.

 On peut résumer la loi de probabilité de $X$ dans le tableau suivant contenant les valeurs approchées au millième:\\

\begin{tabular}{|R|*6{Zc|}}
 \hline
$x_i$ & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12\\
\hline
$P(X=x_i)$ & $0,12$ & $0,106$ & $0,093$ & $0,082$ & $0,72$ & $0,063$ \\
\hline
 \end{tabular}

 \medskip

 \begin{tabular}{|R|*4{Zc|}}
 \hline
$x_i$&14&16&18&20\\
\hline
$P(X=x_i)$&$0,056$&$0,049$&$0,043$&$0,316$\\
\hline
 \end{tabular}
 \item On calcule l'espérance de $X$ grâce à la formule du cours et on obtient $E(X)\approx12,02$.\\
Cela signifie que sur un grand nombre de semaines, l'oncle peut envisager dépenser en moyenne $12,02$~euros par semaine.
 \end{questions}
\end{questions}
