\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Pour chaque couleur, il est choisi au hasard une carte parmi les 8 cartes de cette couleur. La probabilité d'avoir la bonne carte de cette couleur est donc $\dfrac{1}{8}$. Ce choix est répété de façons indépendantes pour les 4 couleurs. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètre 4 et $\dfrac{1}{8}$.

\item Pour établir la loi de probabilité de $X$, on utilise la formule\linebreak $P(X=k)=\dbinom{4}{k}\left( \dfrac{1}{8}\right) ^k \left( \dfrac{7}{8}\right) ^{4-k}$. Les coefficients binomiaux $\dbinom{4}{k}$ sont égaux à 1, 4, 6, 4 et 1. On a donc le tableau de probabilité de $X$ suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*5{Zc|}}
\hline
$k$& 0&1&2&3&4\\
\hline
$P(X=k)$&$\dfrac{7^4}{8^4}$&$4\times \dfrac{7^3}{8^4}$&$6\times \dfrac{7^2}{8^4}$&$4\times \dfrac{7}{8^4}$&$\dfrac{1}{8^4}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{questions}

\item Il est plus rapide de chercher la probabilité de l'événement contraire \og avoir 0 ou 1 carte exacte \fg.\par
$P(X=0)+P(X=1)=\dfrac{7^4+4\times 7^3}{8^4}=\dfrac{11\times 7 ^3}{8^4}.$\par
La probabilité d'avoir une grille gagnante était donc  $1-\dfrac{11\times 7 ^3}{8^4}=\dfrac{323}{8^4}$, soit environ $ 0,0789$.
\item
\begin{questions}
\item La mise étant de 1 \euro, le gain pour 2 cartes exactes est 1~\euro, le gain pour 3 cartes exactes est 29 \euro, le gain pour 4 cartes exactes est 999~\euro, et pour 0 ou 1 carte exacte, il est égal à $-1$~\euro.

Le tableau de la loi de probabilité de $G$ est:

\Par

\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*4{Zc|}}
\hline
gain $g$&$-1$&1&29&999\\
\hline
$P(X=g)$&$\dfrac{11\times 7^3}{8^4}$&$\dfrac{6\times 7^2}{8^4}$&$\dfrac{4\times 7}{8^4}$&$\dfrac{1}{8^4}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item L'espérance du gain du joueur est :\par
$-1\times \dfrac{11\times 7^3}{8^4}+1 \times\dfrac{6\times 7^2}{8^4}+29\times\dfrac{4\times 7}{8^4}+999\times\dfrac{1}{8^4}$\par
Ce qui donne $E(G) \approx  -0,41$.
\item Comme l'espérance de gain du joueur est négative, ce jeu n'est pas favorable au joueur.
\end{questions}
\end{questions}
