\begin{questions}
\item $X$ suit une loi binomiale de paramètres \numprint{2000} et 0,12.
\item $P(X\geqslant 240)=1-P(X\leqslant 239) \approx 0,51$.
\item Par essais successifs, on trouve :
\[ P(X\leqslant263)\approx0,946 \text{ et } P(X\leqslant264)\approx 0,953.\] Le plus petit $n$ tel que $P(X\leqslant n)\geqslant 0,95$ est donc $264$.
\item
\begin{questions}
\item $Y = \numprint{2000}a-\numprint{4000}X$.
\item $E(Y)=\numprint{2000}a -\numprint{4000}E(X)$. Or $E(X)=\numprint{2000}\times 0,12=240$, donc $E(Y)=\numprint{2000}a - \numprint{960000}$.
\item $E(Y)\geqslant 0$ pour  $\numprint{2000}a\geqslant\numprint{960000}$, c'est-à-dire $a\geqslant 480$.
\item Si $a=500$, alors $Y=\numprint{1000000}-\numprint{4000}X$, donc $Y\geqslant\numprint{100000}$ pour $X\leqslant225$. Or $P(X\leqslant225)\approx 0,159$.\\
La probabilité que le bénéfice soit supérieur à \numprint{100000} euros pour une cotisation de 500 euros est d'environ $0,159$.
\end{questions}
\end{questions}
