\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item  Chaque tir est une expérience de Bernoulli de paramètre $0,68$. Les résultats des 25 tirs sont indépendants les uns des autres, la variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres 25 et $0,68$.
\item D'après le cours, $E(X) = 25\times 0,68=17 $. Cela signifie que si Sandy effectue plusieurs séries de 25 tirs, elle peut espérer en réussir en moyenne 17 par série.
\item On cherche $P(X=25)= 0,68^{25}\approx 0,00006$.
\item La probabilité que Sandy atteigne la cible au moins 20 fois est égale à :
\begin{multline*}
P(X=20)+P(X=21)+P(X=22)+P(X=23)\\+P(X=24)+P(X=25).
\end{multline*}
On utilise la calculatrice pour effectuer ce calcul et on trouve\linebreak$P(X\geqslant 20)\approx 0,141$.
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item $Y=0,5X-10$.
\item On a alors : $\begin{aligned}[t]
E(Y) & = E(0,5X-10)\\
& =0,5 E(X)-10\\
& = 0,5\times 17-10\\
& =-1,5.
\end{aligned}$

L'espérance du gain de Sandy étant négative, cela signifie que le jeu est défavorable à Sandy, mais par contre il est favorable au forain.
\item Le forain gagne de l'argent si Sandy gagne moins  de 10 euros, donc réussit au plus 19 tirs.
\item La probabilité que le forain ne gagne pas d'argent est donc la probabilité que Sandy réussisse au moins 20 tirs, c'est-à-dire environ $0,141$ (d'après la question 1).
\end{questions}

\item L'événement \og Sandy réussit au moins un des $n$ tirs \fg{} est l'événement contraire de l'événement \og Sandy ne réussit aucun des $n$ tirs \fg. La probabilité  de réussir au moins un tir est donc $1-0,32^n$.\\
On cherche le plus petit $n$ tel que $1-032^n\geqslant 0,99$:
\begin{align*}
1-0,32^n\geqslant 0,99 & \iff -0,32^n \geqslant 0,99-1\\
& \iff 0,32^n \leqslant 0,01\\
& \iff \ln\big(0,32^n\big) \leqslant \ln(0,01)\\
& \iff n\ln(0,32) \leqslant \ln(0,01)\\
& \iff n \geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,32)}\text{ (car }\ln(0,32)<0)\\
& \iff n \geqslant 4,04.
\end{align*}
$n$ étant un entier, la plus petite de ses valeurs qui correspond est $n=5$.

Donc, si Sandy réalise au moins 5 tirs, la probabilité qu'elle en réussisse au moins un est  supérieure ou égale à 0,99.
\end{questions}
