Les quatre visites successives peuvent se modéliser par la répétition d'expériences identiques et indépendantes.
\begin{questions}
\item La probabilité que seul le premier client achète l'objet est donc\linebreak$0,3\times 0,7^3 \approx 0,103$.
\item Cela peut être le premier, le deuxième, le troisième ou le quatrième client qui achète l'objet, les trois autres ne l'achetant pas. La probabilité de $B$ est donc $4 \times P(A)= 1,2 \times 0,7^3\approx 0,412$.
\item
\begin{questions}
\item Chaque visite est une épreuve de Bernoulli dont le succès est \og Le client achète l'objet \fg, de probabilité $0,3$. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(4~;0,3)$.
\item La loi de probabilité de $X$ est donc :
\begin{center}
\scalebox{0.9}{%
\begin{tabular}{|C|Z{p{3cm}}|}
\hline\tabulartitle
$x_i$ & \centering\arraybackslash $P(X=x_i)$ \\
\hline
0 & $\dbinom{4}{0}\times0,7^4$\\
\hline
1 & $\dbinom{4}{1}\times0,3\times0,7^3$\\
\hline
2 & $\dbinom{4}{2}\times0,3^2\times0,7^2$\\
\hline
3 & $\dbinom{4}{3}\times0,3^3\times0,7$\\
\hline
4 & $\dbinom{4}{4}\times0,3^4$\\
\hline
\end{tabular}}
\end{center}
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Si il y a $x_i$ ventes, le gain est $\dfrac{15\times500}{100}x_i=75x_i$. On déduit donc du tableau précédent la loi de probabilité de la variable aléatoire qui donne le gain de la journée.

\begin{center}
\scalebox{0.9}{%
\begin{tabular}{|C|Z{p{3cm}}|Zc|}
\hline\tabulartitle
$y_i$ & \centering\arraybackslash Probabilité & Valeur approchée\\
\hline
0 & $\dbinom{4}{0}\times0,7^4$ & $0,240$\\
\hline
75 &$\dbinom{4}{1}\times0,3\times0,7^3$ & $0,412$\\
\hline
150 & $\dbinom{4}{2}\times0,3^2\times0,7^2$ & $0,265$\\
\hline
225 & $\dbinom{4}{3}\times0,3^3\times0,7$ & $0,076$\\
\hline
300 & $\dbinom{4}{4}\times0,3^4$ & $0,008$\\
\hline
\end{tabular}}
\end{center}

\item Avec les valeurs approchées du tableau et la définition de l'espérance, on trouve que l'espérance du gain journalier est $90,15$.\\
Mais on peut aussi voir d'après la définition de l'espérance, que si l'on multiplie toutes les valeurs par un même nombre, alors on multiplie l'espérance par ce nombre.

Puisque l'espérance d'une variable qui suit la loi binomiale est égale à $np$, si l'on multiplie ses valeurs par 75 on trouve que l'espérance du gain journalier est $4\times 0,3\times 75 =90$. C'est la valeur que nous allons prendre pour la suite car le calcul précédent était fait avec des valeurs approchées.
\end{questions}

\item Pour que l'espérance devienne supérieure à 100, il faut qu'elle soit multipliée par $\dfrac{100}{90}$. Étant donnée la définition de l'espérance, on voit qu'il suffit de multiplier toutes les valeurs de la variable par $\dfrac{100}{90}$. \enlargethispage*{\baselineskip}

Pour cela il suffit que le taux de commission soit multiplié par $\dfrac{100}{90}$ et devienne donc $\dfrac{100}{90}\times 0,15\approx 0,167$, soit environ $16,7$\%.
\end{questions}
