\subsectionnn{Partie A}
\begin{questions}
\item D'après l'énoncé, il y a 60\% de chocolats noirs. Par conséquent,
\[
P_1=0,6.
\]
\item On nous demande de calculer ici:
\begin{align*}
P_2 & = P(N \cap F)\\
P_2 & = P(N) \times P_N(F)\\
P_2 & = 0,6 \times 0,7\\
P_2 & = 0,42.
\end{align*}

\item Nous pouvons dessiner un arbre des probabilités pour appuyer notre raisonnement (voir page suivante).

Dans cette question, on nous demande de calculer $P_3=P(F)$.

D'après la formule des probabilités totales,
\begin{align*}
P_3 & = P(N\cap F) + P(\overline{N}\cap F)\\
    & = 0,42 + 0,4\times0,3\\
    & = 0,42 + 0,12\\
    & = 0,54.
\end{align*}

\begin{center}
\includegraphics{344_binomiale-chocolats}
\end{center}

\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item L'épreuve consistant à choisir au hasard un chocolat et à regarder s'il est fourré est une épreuve de Bernoulli de probabilité $p=P(F)=0,54$.

L'expérience consistant à répéter $n$ fois de manière indépendante cette épreuve est donc un schéma de Bernoulli, dont $X_n$ représente le nombre de succès.
Par conséquent, $X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,54$.

\item
\begin{questions}
\item On nous demande ici de calculer $P_4=P(X_{12}=6)$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\[
P_4 \approx 0,2171.
\]

\item On nous demande ici de calculer $P_5=P(X_{12} \geqslant 1)$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\[
P_5 \approx 0,9999.
\]

\item On nous demande ici de calculer $P_6=P(X_{12} \leqslant 3)$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\[
P_6 \approx 0,5014.
\]
\begin{aretenir}
\og au moins $k$ \fg{}  signifie \og $k$ ou plus \fg{} donc se traduit par \og $\geqslant k$ \fg.

\og au plus $k$ \fg{}  signifie \og $k$ ou moins \fg{} donc se traduit par \og $\leqslant k$ \fg.
\end{aretenir}
\end{questions}

\newpage

\item
\begin{questions}
\item La probabilité $q_n$ pour que la boîte contienne au moins un chocolat fourré est:
\begin{align*}
q_n & = P(X_n \geqslant 1)\\
    & = P\big( \overline{X_n < 1} \big) \\
    & = 1 - P(X_n < 1)\\
    & = 1 - P(X_n=0)\\
    & = 1 - (1-0,54)^n\\
q_n & = 1 - 0,46^n.
\end{align*}

\item On cherche le premier $n$ tel que:
\begin{align*}
q_n > 0,98 & \iff  1 - 0,46^n > 0,98\\
& \iff 1-0,98 > 0,46^n\\
& \iff 0,46^n < 0,02\\
& \iff \ln\big(0,46^n\big) < \ln(0,02)\\
& \iff n\ln(0,46) < \ln(0,02)\\
& \iff n > \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,46)}\\
\intertext{(on change le sens de l'inégalité car on divise par $\ln(0,46)<0$)}
& \iff n > 5,04.
\end{align*}
Il faut donc que le client achète au minimum $n_0=6$ chocolats pour que la probabilité qu'il y ait au moins un chocolat fourré soit strictement supérieure à 0,98.
\end{questions}
\end{questions}
