\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item D'après les informations données dans l'énoncé, on peut construire l'arbre de probabilités suivant:
\enlargethispage*{5em}
\begin{center}
\includegraphics{346_binomiale-suite-2}
\end{center}

\item La probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première
et de la deuxième semaine est:
\begin{align*}
P(R_1 \cap R_2) & = 0,9 \times 0,95\\
& = 0,855.
\end{align*}

\item La probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième
semaine est:
\begin{align*}
P(R_2) & = P(R_1 \cap R_2) + P(\overline{R_1} \cap R_2)\\
& = 0,855 + 0,1\times0,2\\
& = 0,875.
\end{align*}

\item On cherche ici:
\begin{align*}
P_{R_2}\big(\overline{R_1}\big)
& = \dfrac{P\big(\overline{R_1} \cap R_2\big)}{P(R_2)}\\
& = \dfrac{0,1\times0,2}{0,875}\\
& \approx 0,023.
\end{align*}
\end{questions}

% Question 2
\item
\begin{questions}
\item L'arbre complété est représenté page ci-contre.

\Par

Les probabilités conditionnelles ne changent pas par rapport à l'arbre précédent. Il faut ici imaginer que l'on fait un \og zoom \fg{} sur un événement $R_n$, $n$ étant quelconque, et compléter l'arbre en supposant connu $P(R_n)=r_n$.

\begin{center}
\includegraphics{347_binomiale-suite-3}
\end{center}


\item D'après l'arbre ci-dessus et la formule des probabilités totales:
\begin{align*}
r_{n+1} = P(R_{n+1}) & = P(R_n \cap R_{n+1}) + P(\overline{R_n} \cap R_{n+1})\\
                     & = 0,95r_n + 0,2(1-r_n)\\
                     & = 0,75r_n + 0,2.
\end{align*}

\item On démontre par récurrence l'égalité souhaitée.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation:} $r_1 = P(R_1) = 0,9$ d'après l'énoncé.

De plus, $0,1\times0,75^{1-1}+0,8=0,1+0,8=0,9$.

Ainsi, l'égalité est vraie pour $n=1$.

\item \textit{Hérédité:} supposons que pour un entier $k\geqslant1$ fixé,
\[
r_k = 0,1\times0,75^{k-1}+0,8.
\]
Alors, en multipliant par 0,75, on a:
\begin{align*}
0,75r_k & = 0,75\times(0,1\times0,75^{k-1}+0,8)\\
        & = 0,1\times0,75^{k-1}\times0,75 + 0,8\times0,75\\
        & = 0,1\times0,75^{k} + 0,6.
\end{align*}
Enfin, en ajoutant $0,2$, on obtient:
\[
0,75r_k + 0,2 = 0,1\times0,75^{k} + 0,8
\]
soit :
\[
r_{k+1} = 0,1\times0,75^{k} + 0,8.
\]
L'hérédité est alors prouvée.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[
r_n = 0,1\times0,75^{n-1} + 0,8.
\]

\item $\lim\limits_{n\to+\infty} 0,75^{n-1} = 0$ car $0<0,75<1$. Par conséquent, \mbox{$\lim\limits_{n\to+\infty} r_n = 0,8$.}

Cela signifie qu'à longs termes, la probabilité qu'un client ramène sa bouteille est égale à 0,8.
\end{questions}

% question 3
\item On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de clients ramenant leur bouteille.

L'expérience consistant à regarder si un client ramène sa bouteille est une épreuve de Bernoulli dont le succès a pour probabilité 0,8. On répète cette épreuve 20 fois de manière indépendante.

Ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,8$.

On peut alors répondre aux questions suivantes à l'aide de la calculatrice. Voici ici l'exemple avec la calculatrice \textit{Numworks}.
\begin{itemize}
\item Dans le menu principal, on choisit l'item \og Probabilités \fg:
\Par
\begin{center}
\includegraphics{348_binomiale-numworks1}
\includegraphics{348_binomiale-numworks2}
\end{center}
\item Ensuite, on choisit la première ligne: \og Binomiale \fg, puis on entre les paramètres de la loi binomiale:
\Par
\begin{center}
\includegraphics{348_binomiale-numworks3}
\includegraphics{348_binomiale-numworks4}
\end{center}
\end{itemize}

\begin{questions}
\item On cherche ici $P(X = 20)$. On peut:
\begin{itemize}
\item soit calculer directement:
\[
P(X=20) = 0,8^{20} \approx 0,012.
\]
\item soit utiliser la calculatrice:
\Par
\begin{center}
\includegraphics{348_binomiale-numworks5}
\end{center}
\end{itemize}

\item La probabilité qu'au moins 15 des clients choisis ramènent leur bouteille est $P(X\geqslant15)$.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{349_binomiale-numworks6}
\end{center}
La valeur approchée au millième est alors:
\[
P(X \geqslant 15) \approx 0,804.
\]

\item La probabilité qu'au plus 10 d'entre eux ramènent leur bouteille est $P(X \leqslant 10)$.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{349_binomiale-numworks7}
\end{center}
On trouve:
\[
P(X \leqslant 10) \approx 0,003.
\]
\end{questions}
\end{questions}
\newpage
