\begin{questions}
\item L'expérience consistant à choisir au hasard une réponse à une question du QCM est une expérience de Bernoulli (deux issues) donc la probabilité du succès est $\dfrac{1}{4}$.

On répète 10 fois de manière indépendante cette expérience, donc la variable aléatoire $X$ représentant le nombre de succès à l'issue de cette succession d'épreuves indépendantes suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{1}{4}$.

\item La probabilité que Dominique obtienne exactement 5 bonnes réponses est :
\[
P\left (X=5\right ) = \binom{10}{5} \times \left (\frac{1}{4}\right )^5 \times \left (1-\frac{1}{4}\right )^{10-5}\approx \numprint{0,0584}.
\]

\item L'espérance de $X$ est:
\[
E(X)=np = 10\times \frac{1}{4}= 2,5.
\]
Cela signifie que Dominique a en moyenne $2,5$ bonnes réponses.

\item
\begin{questions}
\item Pour réaliser l'événement $(Y=10)$, il faut que toutes les réponses soient justes donc on calcule:
\[
P\left (Y = 10\right )=P\left (X = 10\right ) = \left (\frac{1}{4}\right )^{10}.
\]

\item On peut calculer la valeur de $Y$ en fonction de celle de $X$:
\begin{itemize}
\item On a vu que $(Y = 10)$ équivalait à $(X=10)$.
\item Si $X = 9$, il y a 9 bonnes réponses qui rapportent 9 points, et une mauvaise réponse qui en retire un demi; donc $Y=8,5$.
\item Si $X = 8$, il y a 8 bonnes réponses qui rapportent 8 points, et deux mauvaises réponses qui retirent deux demi-points; donc $Y=7$.
\item Etc.
\end{itemize}

On regroupe tous les résultats possibles dans un tableau.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|C| *{6}{>{\centering\arraybackslash} X|}}
\hline
$X$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
$Y$ & $-5$ & $-3,5$ & $-2$ & $-0,5$ & $1$ & $2,5$ \\
\hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|C| *{5}{>{\centering\arraybackslash} X|}}
\hline
$X$ & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
$Y$ & $4$ & $5,5$ & $7$ & $8,5$ & $10$ \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Donc la note finale de Dominique est positive à partir de 4 bonnes réponses.

\item D'après le tableau précédent, $P\left (Y\leqslant 0\right )=P\left (X\leqslant 3\right )$.

Donc $P\left (Y\leqslant 0\right ) \approx 0,78$.

\item $X$ prend toutes les valeurs entières entre 0 et 10.

Pour $X$ bonnes réponses qui rapportent $X$ points, il y en a $10-X$ mauvaises qui retirent $0,5\left (10-X\right )$ points.

Donc:
\begin{align*}
Y & = X-0,5\left (10-X\right )\\
Y & = X-5+0,5X\\
Y  & = 1,5X-5.
\end{align*}

\item D'après la linéarité de l'espérance mathématique, on a:
\begin{align*}
E\left (Y\right ) & = E\left (1,5X-5\right )\\
E(Y)& =1,5\times E\left (X\right ) - 5 \\
E(Y)& = 1,5\times 2,5 - 5\\
E(Y)& = -1,25.
\end{align*}                
\end{questions}
\end{questions}
