\begin{questions}
\item Le jeu est une répétition de 4 expériences identiques et indépendantes, qui ont deux issues, et dont le succès, \og Obtenir Face \fg{} a pour probabilité $0,5$. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de Faces obtenues suit donc la loi binomiale de paramètres 4 et $0,5$.


Le tableau de la loi de probabilité est donc:
\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*5{Zc|}}
\hline
$x_i$&0&1&2&3&4\\
\hline
$P(X=x_i)$&$0,5^4$&$4\times 0,5^4$&$6\times 0,5^4$&$4 \times0,5^4$&$0,5^4$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item \begin{questions}
\item $P(Y=40)=P(X=0)$.\\
$P(Y=-20)=P(X=3)$.\\
$P(Y=-10)=P(X=2)$.\\
La loi de probabilité de $Y$ est donc :
\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*4{Zc|}}
\hline
$y_i$&40&$-20$&$-10$&0\\
\hline
$P(Y=y_i)$&$0,0625$&$0,25$&$0,375$&$0,3125$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item $\begin{aligned}[t]
E(Y) & =40\times 0,0625-20\times0,25-10\times0,375+0\times0,3125 \\
E(Y) & =-6,25
\end{aligned}$
\item Comme l'espérance du gain du joueur est négative, ce jeu est défavorable au joueur. Il n'a donc pas intérêt à y jouer.
\item Si on veut modifier le gain pour que $E(Y)=0$, il faut gagner la somme $S$ telle que $S\times 0,0625-20\times0,25-10\times0,375=0$, c'est-à-dire $S=140$. Le joueur devrait donc gagner 140 points s'il n'obtient que des Piles.
\end{questions}
\end{questions}
