\begin{questions}
\item L'expérience est une répétition de 4 lancers de dé, donc de 4 expériences identiques et indépendantes. Obtenir la face 6 est le succès de l'épreuve de Bernoulli, et sa probabilité $p$ vaut $\dfrac{1}{6}$. La variable $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}\left(4,\dfrac{1}{6}\right)$.

\item La probabilité de gagner 3 points est :
\begin{align*}
P(X=3) & =\dbinom{4}{3}\left(\dfrac{1}{6}\right)^3\times\left(\dfrac{5}{6}\right)^1\\
& =4 \times\dfrac{5}{6^4}\\
& = \dfrac{5}{324}.
\end{align*}


\item Pour déterminer la loi de probabilité de $X$ il reste à calculer la probabilité d'avoir 0, 1, 2 ou 4 fois la face numérotée 6.
\Par
\begin{align*}
P(X=0) & = \dbinom 4 0\left( \dfrac{1}{6}\right) ^0\times\left( \dfrac{5}{6}\right) ^4\\%[5pt]
& =\dfrac{5^4}{6^4}\\%[5pt]
& =\dfrac{625}{\numprint{1296}}.
\end{align*}
\Par
\begin{align*}
P(X=1) & = \dbinom 4 1 \left( \dfrac{1}{6}\right) ^1\times\left( \dfrac{5}{6}\right) ^3\\%[5pt]
& = 4 \times \dfrac{5^3}{6^4}\\%[5pt]
& = \dfrac{125}{324}.
\end{align*}
\Par
\begin{align*}
P(X=2) & = \dbinom4 2\left( \dfrac{1}{6}\right) ^2\times\left( \dfrac{5}{6}\right) ^2\\%[5pt]
& = 6 \times \dfrac{5^2}{6^4}\\%[5pt]
& = \dfrac{25}{216}.
\end{align*}
%\newpage
\begin{align*}
P(X=4) & =\dbinom4 4\left( \dfrac{1}{6}\right) ^4\times\left( \dfrac{5}{6}\right) ^0\\%[5pt]
& =\dfrac{1}{6^4}\\%[5pt]
& =\dfrac{1}{\numprint{1296}}.
\end{align*}

\newpage

On peut résumer ces résultats dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|R|*5{Zc|}}
\hline
$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\dfrac{625}{\numprint{1296}}$ & $\dfrac{125}{324}$ & $\dfrac{25}{216}$ & $\dfrac{5}{324}$ & $\dfrac{1}{\numprint{1296}}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{Remarque}
il est toujours prudent de vérifier que la somme des probabilités est égale à 1.
\end{Remarque}
\end{questions}
