\begin{questions}
\item La variable aléatoire $M_n$ représente ici le nombre \textit{moyen} de donneurs universels sur les $N$ collectes.

\item D'après la linéarité de l'espérance,
\[
E(M_n) = \dfrac{1}{N}\times n \times E(X_1) = E(X_1) = 7,14        .
\]

\item Les variables $X_k$ ($1 \leqslant k \leqslant N$) sont indépendantes donc:
\[
V(M_n) = \dfrac{1}{N^2} \times N \times V(X_1) = \dfrac{6,63}{N}.
\]

\item D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,
\[
\forall \delta > 0,\ P(|M_n - E(M_n)| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(M_n)}{\delta^2}.
\]
Entre 7 (la borne inférieure de l'encadrement \og $7 < M_n < 7,28$ \fg) et $E(M_n)=7,14$, il y a un écart de 0,14. On prend alors $\delta = 0,14$:
\begin{align*}
     & P(|M_n - 7,14| \geqslant 0,14) \leqslant \dfrac{6,63}{0,14^2n}\\
\iff & 1- P(|M_n - 7,14| < 0,14) \leqslant \dfrac{6,63}{0,0196n}\\
\iff & 1- P(-0,14 < M_n - 7,14 < 0,14) \leqslant \dfrac{6,63}{0,0196n}
\end{align*}

\begin{align*}
\iff & 1- P(-0,14+7,14 < M_n < 0,14+7,14) \leqslant \dfrac{6,63}{0,0196n}\\
\iff & 1- P(7 < M_n < 7,28) \leqslant \dfrac{6,63}{0,0196n}\\
\iff & P(7 < M_n < 7,28) \geqslant 1-\dfrac{6,63}{0,0196n}.
\end{align*}
On souhaite: que $P(7 < M_n < 7,28)\ \geqslant 0,95$ donc en prenant $n$ tel que:
\[
1-\dfrac{6,63}{0,0196n} \geqslant 0,95,
\]
on aura répondu à la question.
\begin{align*}
1-\dfrac{6,63}{0,0196n} \geqslant 0,95 & \iff 0,0196n-6,63 \geqslant 0,95\times0,0196n\\
& \iff 0,0196\times0,05n \geqslant 6,63\\
& \iff n \geqslant \dfrac{6,63}{0,0196\times0,05} \geqslant 6765,3.
\end{align*}
Ainsi, pour $n \geqslant \numprint{6766}$, nous sommes assurés que:
\[
P(7 <M_N < 7,28)>0,95.
\]
\end{questions}
