\begin{questions}
\item $X_n$  est la somme de $n$ variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$. Ainsi, $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$. On en déduit alors que:
\[
E(X_n)=np\qquad\text{et}\qquad V(X_n)=np(1-p).
\]
\item D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,
\[
\forall\delta>0,\quad P\big(|X_n-np| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{np(1-p)}{\delta^2}.
\]
Or,
\[
|X_n-np| \geqslant \delta  \iff \left|\dfrac{X_n}{n}-p\right| \geqslant \dfrac{\delta}{n}
\]
En posant $\varepsilon = \dfrac{\delta}{n}$, on obtient alors:
\[
\forall\varepsilon>0,\quad P\left( \left|\dfrac{X_n}{n}-p\right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \dfrac{np(1-p)}{n^2\varepsilon^2}
\]
que l'on peut aussi écrire, en simplifiant par $n$ le dernier membre, sous la forme:
\[
\forall\varepsilon>0,\quad P\left( \left|\dfrac{X_n}{n}-p\right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \dfrac{1}{n\varepsilon^2}p(1-p).
\]
De plus, la fonction $p \mapsto p(1-p)$ définie sur $[0;1]$ est une fonction de degré 2 admettant un maximum pour $p=\dfrac{1}{2}$ qui vaut $\dfrac{1}{4}$, donc :
\[
p(1-p) \leqslant \dfrac{1}{4}.
\]
L'inégalité devient alors:
\[
\forall\varepsilon>0,\quad P\left( \left|\dfrac{X_n}{n}-p\right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \dfrac{1}{4n\varepsilon^2}.
\]

\item On cherche ici un entier $n$ tel que :
\[
P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-p\right|<10^{-2}\right)\geqslant0,95
\]
que l'on peut aussi écrire, en considérant l'événement contraire:
\[
P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}-p\right|\geqslant10^{-2}\right)\leqslant0,05.
\]
D'après l'inégalité obtenue à la question précédente, il suffit donc de trouver un entier $n$ tel que:
\[
\dfrac{1}{4n\big(10^{-2}\big)^2} \leqslant 0,05.
\]
ce qui revient à prendre $n$ tel que $n\geqslant\dfrac{1}{4\times0,05\times(10^{-2})^2}$,\linebreak soit $n\geqslant500$.
\end{questions}
