\begin{questions}
\item $X_1$ soit la loi binomiale $\mathcal{B}(20;0,165)$ donc, d'après le cours,
\[
E(X_1)=20 \times 0,165 = 3,3\quad\text{et}\quad V(X_1)=E(X_1)\times(1-0,165)=2,7555.
\]

\item Par linéarité de l'espérance,
\[
E(S) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) = 3 \times E(X_1) = 3 \times 3,3 = 9,9.
\]
Les variables $X_1$, $X_2$ et $X_3$ étant indépendantes, d'après le cours, on a:
\[
V(S) = V(X_1) + V(X_2) + V(X_3) = 3 \times V(X_1) = 3 \times 2,7555 = 8,2665.
\]

\item La probabilité que le nombre total d'erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est:
\begin{align*}
P(6 < S < 14) & = P(6-10 < S-10 < 14-10)\\
              & = P(-4 < S - E(S) < 4)\\
              & = P(|S-E(S)|<4)\\
              & = 1-P(|S-E(S)| \geqslant 4).
\end{align*}
D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,
\[
P(|S-E(S)| \geqslant 4) \leqslant \dfrac{V(S)}{4^2} \leqslant \dfrac{8,2665}{16} \leqslant 0,51665625.
\]
D'où:
\[
1-P(|S-E(S)| \geqslant 4) \geqslant 1-0,51665625 \geqslant 0,48334375.
\]
Ainsi, $P(6 < S < 14) > 0,48$.
\end{questions}
