\begin{questions}
\item $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,95$ donc son espérance est:
\[
E(X)=n \times p = 0,95n.
\]

\item On prend $n=150$ dans cette question.
\begin{questions}
\item À la calculatrice, on trouve:
\[
P(S_{150}=145) \approx 0,109.
\]
Cela signifie que la probabilité qu'il y ait 145 jouets ayant réussi le test de fiabilité est  d'environ 10,9\%.

\item 94\% de 150 vaut 141. On cherche donc (à la calculatrice):
\[
P(S_{150} \geqslant 141)\approx 0,781.
\]
\end{questions}

\item
\begin{itemize}
\item Par linéarité de l'espérance, on a:
\[
E(F_n) = E\left(\frac{S_n}{n}\right)=\dfrac{1}{n} \times E(S_n) = \dfrac{1}{n} \times n \times p = p = 0,95.
\]

\item Par propriété de la variance, on a:
\[
V(F_n) = \dfrac{1}{n^2} \times V(S_n) = \dfrac{1}{n^2} \times n \times p \times (1-p) = \dfrac{0,95 \times 0,05}{n} = \dfrac{0,0475}{n}.
\]
\end{itemize}

\item Le théorème de Bienaymé-Tchebychev nous dit que:
\[
\forall \delta > 0,\ P( |F_n - E(F_n)| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(F_n)}{\delta^2}
\]
soit ici, en prenant $\delta=0,02$:
\begin{align*}
     & P(|F_n-0,95| \geqslant 0,02) \leqslant \dfrac{0,0475}{0,0004n}\\
\iff & 1-P(|F_n-0,95| < 0,02) \leqslant \dfrac{0,0475}{0,0004n}\\
\iff & 1-P(-0,02 < F_n-0,95 < 0,02) \leqslant \dfrac{0,0475}{0,0004n}\\
\iff & 1-P(0,93 < F_n < 0,97) \leqslant \dfrac{0,0475}{0,0004n}\\
\iff & P(0,93 < F_n < 0,97) \geqslant 1- \dfrac{0,0475}{0,0004n}.
\end{align*}
On cherche $n$ tel que:
\begin{align*}
P(0,93 < F_n < 0,97) \geqslant & \iff 1- \dfrac{0,0475}{0,0004n} \geqslant 0,96\\
& \iff \dfrac{0,0004n-0,0475}{0,0004n} \geqslant 0,96\\
& \iff 0,0004n-0,0475 \geqslant 0,96 \times 0,0004n\\
& \iff 0,0004n - 0,96\times0,0004n \geqslant 0,0475\\
& \iff 0,00016n \geqslant 0,0475\\
& \iff n \geqslant \numprint{2968,75}.
\end{align*}
Ainsi, à partir de \numprint{2969} jouets prélevés, la probabilité de l'événement $I$ est supérieure à 0,95.
\end{questions}
