\begin{questions}
\item Par linéarité de l'espérance, on a:
\begin{align*}
E(M_n) & = E\left(\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}\right)\\
& = \dfrac{1}{n}E(X_1+\cdots+X_n)\\
& = \dfrac{1}{n}\big[ E(X_1) + \cdots + E(X_n) \big]\\
& = \dfrac{1}{n}(\mu + \cdots + \mu)\\
& = \dfrac{1}{n} \times n\mu \\
E(M_n) & = \mu.
\end{align*}

De plus, comme les $X_k$ sont indépendantes, on a:
\begin{align*}
V(M_n) & = V\left(\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}\right)\\
& = \dfrac{1}{n^2}V(X_1+\cdots+X_n)\\
& = \dfrac{1}{n^2}\big[ V(X_1) + \cdots + V(X_n) \big]\\
& = \dfrac{1}{n^2}(\sigma^2 + \cdots + \sigma^2)\\
V(M_n) & = \dfrac{\sigma^2}{n}.
\end{align*}

\item D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_n$, pour tout $\delta > 0$, on a:
\[
P\big( |M_n - \mu| \geqslant \delta \big) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}.
\]
On retrouve l'inégalité de concentration.
\end{questions}
