\begin{questions}
\item Avant tout, on peut considérer que lancer 4 dés est équivalent à tirer successivement un dé 4 fois de façon indépendante. La probabilité d'obtenir un \og 6 \fg{} lors d'un lancer est $\dfrac{1}{6}$.

Ainsi, le nombre de \og 6 \fg{} obtenus à l'issue des 4 lancers de dés peut être représenté par une variable aléatoire $X$ suivant la loi $\mathcal{B}\left(4;\dfrac{1}{6}\right)$.

Ainsi, $P(X=0)=\left(1-\dfrac{1}{6}\right)^4=\left(\dfrac{5}{6}\right)^4$.

Par conséquent, la probabilité d'obtenir au moins un \og 6 \fg{} à l'issue des 4 lancers de dés est:
\[
P(X\geqslant1)=1-P(X=0)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^4\approx0,518.
\]
Ainsi, on a plus d'une chance sur deux d'obtenir au moins un \og 6 \fg{} en lançant quatre dés équilibrés.

\item Voici une proposition de programme écrit en Python:

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/ILTM/loinombres-mere.py}}}
\rput(-0.5,-1.7){\PictoNathanLive[Prog]}
\vspace*{-3mm}

%loinombres-mere.py
\begin{listing}{}{loinombres-mere-1.txt}\end{listing}
\begin{center}
\textit{(suite du programme page suivante)}
\end{center}

\begin{listing}{}{loinombres-mere-2.txt}\end{listing}

\item Pour cette question, on peut considérer l'épreuve constituée d'un lancer de 4 dés . C'est une épreuve de Bernoulli de probabilité $p=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^4$ d'après la question 1.

Ainsi, $\mathcal{E}_n$ est un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.

Notons alors $Y_k=1$ si au moins un \og 6 \fg{} a été obtenu lors du $k$-ième lancer, $Y_k=0$ sinon. Ainsi,
\[
f_n = \dfrac{Y_1+\cdots+Y_n}{n}.
\]
De plus,
\begin{align*}
f_n < 0,5 & \iff -f_n > -0,5\\
& \iff p-f_n > p-0,5\\
& \Rightarrow \left|\dfrac{Y_1+\cdots+Y_n}{n}-p\right|\geqslant p-0,5\text{ (car }p>0,5).
\end{align*}
On a alors:
\begin{align*}
P(f_n\leqslant0,5) &
 \leqslant P\left(\left|\dfrac{Y_1+\cdots+Y_n}{n}-p\right| \geqslant p-0,5\right)\\
 & \leqslant \dfrac{p(1-p)}{(p-0,5)^2\times n}\text{ (d'après l'inégalité de concentration)}.
\end{align*}
D'où:
\[
P(f_n > 0,5) \geqslant 1-\dfrac{p(1-p)}{(p-0,5)^2\times n}.
\]
Il suffit de prendre $n$ tel que :
\begin{align*}
1-\dfrac{p(1-p)}{(p-0,5)^2\times n} \leqslant 0,05 & \iff n \geqslant \dfrac{p(1-p)}{(o-0,5)^2\times0,05} \\
& \iff n\geqslant \numprint{15856}.
\end{align*}
Ainsi, en effectuant au moins \numprint{15856} simulations de lancers de 4 dés, on aura plus d'une chance sur deux  d'obtenir au moins un \og 6 \fg{} avec une probabilité d'au moins 95\%.
\end{questions}
