\begin{questions}
\item \textit{Faux}. Selon l'inégalité de Markov, $P(X \geqslant a) \leqslant \dfrac{E(X)}{a}$, ce qui donne dans notre cas:
\[
P(X \geqslant 10) \leqslant \dfrac{9}{10}.
\]

\item \textit{Vrai}. En effet, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,
\[
P\big( | X-E(X)| \geqslant \delta \big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}
\]
ce qui donne dans notre cas:
\[
P\big( | X - 7| \geqslant 18 \big) \leqslant \dfrac{9}{18^2}
\]
soit:
\[
P\big( | X - 7| \geqslant 18 \big) \leqslant \dfrac{1}{36} < 0,028.
\]

\item \textit{Vrai}. Notons $X_k$ le nombre de points lors du $k$-ième tirage ($X_k = 0$ ou $X_k = 1$).
\enlargethispage*{5em}

C'est une variable de Bernoulli d'espérance $\mu=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}=\dfrac{125}{\numprint{1000}}$ et de variance $\sigma^2=\dfrac{1}{8}\left(1-\dfrac{1}{8}\right)=\dfrac{7}{64}$. D'après l'inégalité de concentration (les $X_k$ étant implicitement indépendantes),
\begin{align*}
& P\left(\left|X_1+\cdots+X_{\numprint{1000}}-125\right| \geqslant 15\right) \\
=\ & P\left(\left|\dfrac{X_1+\cdots+X_{\numprint{1000}}}{\numprint{1000}}-\dfrac{125}{\numprint{1000}}\right|\geqslant\dfrac{15}{\numprint{1000}}\right)\\
\leqslant\ & \dfrac{\frac{7}{64}}{\numprint{1000}\times \left( \frac{15}{\numprint{1000}}\right)^2}\\
<\ & 0,49\\
<\ & 0,5.
\end{align*}
\end{questions}
