\begin{questions}
\item En considérant l'épreuve consistant à regarder si un candidat a son permis dès la première tentative, épreuve de Bernoulli dont la probabilité du succès est $p=0,747$, on répète de \textit{manière indépendante} 10 fois cette épreuve. Donc, d'après le cours, le nombre de succès à l'issue de cette succession d'épreuves suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ (nombre de fois que l'on répète l'épreuve de Bernoulli) et $p=0,747$.

\item À la calculatrice, on trouve:
\[
P(X \geqslant 6) \approx 0,918.
\]
Cela signifie que la probabilité qu'au moins 6 candidats sur 10 ait leur permis dès la première fois est environ égale à 0,918.

\item D'après le cours,
\[
E(X) = n \times p = 7,47 \qquad\text{et}\qquad  V(X)=np(1-p)\approx 1,890.
\]

\item D'après l'énoncé,
\[
Z = X+Y.
\]
Par linéarité de l'espérance,
\[
E(Z)=E(X)+E(Y) = 7,47+22,53=30.
\]
De plus, $X$ et $Y$ étant deux variables aléatoires indépendantes,
\[
V(Z)=V(X)+V(Y) = 1,89+9,81=11,7.
\]

\item La probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative s'exprime de la manière suivante:
\[
P\big[ (Z<20) \cup (Z>40) \big]  = 1 - P(20 \leqslant Z \leqslant 40).
\]

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev nous dit que:
\[
\forall \delta > 0,\ P(|Z-E(Z)| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(Z)}{\delta^2}.
\]
Les bornes de l'encadrement \og $20 < Z < 40$ \fg{} dont distantes de 10 de $E(Z)$, ce qui nous encourage à prendre $\delta=10$:
\begin{align*}
     & P(|Z-30| \geqslant 10) \leqslant \dfrac{11,7}{10^2}\\
\iff & P(|Z-30| \geqslant 10) \leqslant 0,117\\
\iff & -P(|Z-30| \geqslant 10) \geqslant -0,117\\
\iff & 1 -P(|Z-30| \geqslant 10) \geqslant 1-0,117\\
\iff & P(|Z-30| \geqslant 10) \leqslant 0,117.
\end{align*}
Ainsi, la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est bien inférieure à 0,12.
\end{questions}
