\begin{questions}
\item  % Q1
\begin{itemize}
\item $\Delta_1$ a pour vecteur directeur $\gvec{u}\begin{pmatrix}-3\\2\\1\end{pmatrix}$ et $\Delta_2$ a pour vecteur directeur $\gvec{v}\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$. Les premières coordonnées ne sont pas égales alors que les autres le sont, donc les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.

Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ ne sont donc pas parallèles.


\item $\gvec{u} \cdot \gvec{v} = -3 \times 1 + 2 \times 2 + 1 \times 1 = 2 \neq 0$, donc les vecteurs directeurs ne sont pas orthogonaux, et les droites ne sont pas orthogonales.


\item Si les droites sont sécantes, les coordonnées de leur point commun vérifient le système :
\[
\left\{\begin{array}{l c l}
1 - 3t        &=&-4 + s\\
4 + 2t        &=&2 + 2s\\
t                &=&- 1 + s
\end{array}\right.
\]
En remplaçant $t$ par $- 1 + s$ dans les deux premières équations on obtient :
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{l c l}
1 + 3 - 3s&=&-4 + s\\
4  - 2 + 2s&=&2 + 2s\\
t&=&- 1 + s
\end{array}\right.
& \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1 + 3 - 3s&=&-4 + s\\
4 + - 2 + 2s&=&2 + 2s\\
t&=&- 1 + 2s
\end{array}\right. \\
& \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
8&=&4s\\
2 + 2s &=&2 + 2s\\
t&=&- 1 + 2s
\end{array}\right.\\
& \iff \left\{\begin{array}{l c l}
2&=&s\\
2 + 2s &=& 2 + 2s\\
t&=&- 1 + 2s
\end{array}\right.\\
& \iff \left\{\begin{array}{l c l}
2&=&s\\
2 + 2s &=& 2 + 2s\\
t&=&-1
\end{array}\right.
\end{align*}

Les droites sont alors sécantes.
\end{itemize}

\textit{Conclusion: } la réponse correcte est la réponse \choix[c].


\item %Q2
On considère les points A(3~;~2~;~1), B(7~;~3 ~;~1), C$(-1~;~4~;~5)$ et D$(- 3~;~3~;~5)$.
\begin{itemize}
\item $\gvec{\text{AB}}\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}, \: \gvec{\text{AC}}\begin{pmatrix}-4\\2\\4\end{pmatrix}$: ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés.


\item $\gvec{\text{CD}}\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}$: ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

\item A, B, C et D sont coplanaires, c'est-à-dire si par exemple D appartient au plan (ABC) et dans ce cas si $\gvec{\text{AD}} = x\gvec{\text{AB}} + y\gvec{\text{AC}}$, avec $x \in \R,\: y \in \R$ (car $\gvec{\text{AB}}$ et $\gvec{\text{AC}}$ ne sont pas des vecteurs colinéaires.

Avec $\gvec{\text{AD}}\begin{pmatrix}-6\\1\\4\end{pmatrix}$, l'égalité vectorielle précédente se traduit par le système :
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{l c r}
-6&=&4x - 4y\\
1&=&x + 2y\\
4 &=& 4y
\end{array}\right. & \iff \left\{\begin{array}{l c r}
-6&=&4x - 4\\
1&=&x + 2\\
1 &=& y
\end{array}\right.\\
& \iff
\left\{\begin{array}{l c r}
-2&=&4x\\
-1&=&x\\
1 &=& y
\end{array}\right.\\
& \iff \left\{\begin{array}{l c r}
-\frac12&=&x\\
-1&=&x\\
1 &=& y
\end{array}\right.
\end{align*}

Ce système n'a pas de solution. Donc le point D n'appartient pas au plan défini par les points A, B et C ou encore A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
\end{itemize}

\textit{Conclusion:} la réponse correcte est la réponse \choix[a].

\item On calcule:
\[
\gvec{\mathrm{EF}} \begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ 2 - 0 \\ -1 - 5\end{pmatrix} \text{ soit } \gvec{\mathrm{EF}} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -6\end{pmatrix},
\]
La représentation paramétrique donnée dans la proposition \choix[a] indique que la droite représentée :
\begin{itemize}
\item passe (pour le paramètre $t=0$) par le point de coordonnées $(3 ~;~ 2 ~;~ -1)$, autrement dit par F;
\item qu'elle est dirigée par le vecteur $\gvec{u} \begin{pmatrix}-2 \\-1 \\ 3\end{pmatrix}$.
\end{itemize}
On remarque que $\gvec{\mathrm{EF}} = -2\gvec{u}$, donc la droite dont on a la représentation paramétrique en choix \choix[a] est dirigée par un vecteur colinéaire à $\gvec{\mathrm{EF}}$.

\Par

\textit{Conclusion:} la réponse correcte est la réponse \choix[a].
\end{questions}
