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\rput(-0.5,-1.4){\PictoNathanLive[Video]}
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\begin{questions}
\item La représentation paramétrique proposée est une représentation du plan $\mathcal{P}$ si et seulement si les coordonnées exprimées en fonction de $t$ et $t'$ vérifient l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ pour toutes valeurs de $t$ et $t'$.

Donc on remplace :
\[
t + 2t' - 2(1 -t + t') + 3(-1 - t) + 5 = 0t + 0t' - 5 + 5 = 0.\]

L'équation est vérifiée quelles que soient les valeurs de $t$ et $t'$, donc on a bien une représentation paramétrique du plan $\mathcal{P}$.

\item Là encore, on remplace dans l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$ : si, pour tout $t$, les coordonnées des points de $\mathcal{D}$ vérifient l'équation de $\mathcal{P}$, cela signifiera que $\mathcal{D}$ est incluse dans $\mathcal{P}$.

\begin{Remarque}
les deux autres cas de figure sont :
\begin{itemize}
\item les coordonnées des points de $\mathcal{D}$ ne vérifient l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$ pour aucune valeur de $t$ : alors la droite est parallèle au plan $\mathcal{P}$ ;
\item il existe une unique valeur de $t$ qui convient : alors la droite $\mathcal{D}$ est sécante au plan $\mathcal{P}$.
\end{itemize}
\end{Remarque}

En remplaçant, il vient :
\[ -2 + t -2(-t) + 3(-1- t) + 5 = 0t - 5 + 5 = 0.\]

Donc ici aussi, toute valeur de $t$ convient, donc la droite $\mathcal{D}$ est une droite du plan $\mathcal{P}$.

\item Cherchons à quelle condition un point de $\mathcal{S}$ appartient à $\mathcal{P}$, en remplaçant $x$, $y$ et $z$ dans l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$ par leur expression dans la représentation paramétrique de $\mathcal{S}$.

\begin{align*}
&-2 + t + 2t' -2(-t - 2t') + 3(-1 - t + 3t') + 5 = 0\\
\Longleftrightarrow\ & 0t + 15 t' = 0\\
\Longleftrightarrow\ & t' = 0.
\end{align*}

On obtient alors l'équation de l'intersection en remplaçant $t'$ par 0 dans la représentation paramétrique de $\mathcal{S}$.

La droite  intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{S}$ a pour représentation paramétrique :
\[
\begin{cases}
x=-2+t\\
y=-t\\
z=-1-t
\end{cases}
\]

C'est en fait la droite $\mathcal{D}$.
\end{questions}
